Ре­ше­ние. По ри­сун­ку, ис­поль­зуя свой­ство смеж­ных углов и тео­ре­му о сумме углов тре­уголь­ни­ка, на­хо­дим:

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Имеем: по­это­му Сумма ко­ор­ди­нат най­ден­но­го век­то­ра равна

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ребро куба равно ра­ди­у­су сферы, в кубе со­дер­жит­ся 1/⁠8 часть сферы и, со­от­вет­ствен­но, 1/⁠8 ее по­верх­но­сти, рав­ная

Ответ: 1,28.

Ре­ше­ние. Из 25 би­ле­тов 15 не со­дер­жат во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства», по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства», равна

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят обе лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,3 · 0,3  =  0,09.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Мень­ший ко­рень равен −9.

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Под­став­ляя ар­гу­мен­ты в фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию, по­лу­ча­ем:

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Фор­му­лой, опи­сы­ва­ю­щей умень­ше­ние вы­со­ты стол­ба воды с те­че­ни­ем вре­ме­ни, яв­ля­ет­ся

Чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды в баке оста­нет­ся, когда вы­со­та стол­ба воды будет 5 м. Опре­де­лим тре­бу­е­мое на вы­те­ка­ние трех чет­вер­тей воды время  — най­дем мень­ший ко­рень урав­не­ния :

Таким об­ра­зом, через 50 се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды.

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Пусть υ км/⁠ч  — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна υ + 21 км/⁠ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через t часов. Для того чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы. По­это­му

Таким об­ра­зом, мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через  часа, или через 20 минут.

Ответ: 20.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Быст­рый мо­то­цик­лист дви­жет­ся от­но­си­тель­но мед­лен­но­го со ско­ро­стью 21 км/⁠ч и дол­жен пре­одо­леть раз­де­ля­ю­щие их 7 км. Сле­до­ва­тель­но, на это ему по­тре­бу­ет­ся одна треть часа.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что перед нами па­ра­бо­ла вида (то есть ), с вер­ши­ной в точке по­это­му Тогда

Ответ: 31.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  6, c  =  4. Тогда

Ответ: 31.

Ре­ше­ние. Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке в нашем слу­чае  — в точке 1. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет и функ­ция опре­де­ле­на в точке 1, она также до­сти­га­ет в ней мак­си­му­ма.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или

При по­лу­чим от­ку­да

При по­лу­чим от­ку­да

б)  Ко­рень не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку По­сколь­ку и ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью ABC₁D₁. Точка Е лежит в этой плос­ко­сти вме­сте с пря­мой BD₁. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB и C₁E также лежат в этой плос­ко­сти. Пусть они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, тогда точка M лежит в ис­ко­мом се­че­нии. Ана­ло­гич­но, пря­мые BC и A₁E лежат в се­че­нии BCA₁D₁ и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Тра­пе­ция A₁C₁NM  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Дан­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным па­рал­ле­ле­пи­пе­дом, длина его диа­го­на­ли равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов длин трех его из­ме­ре­ний:

Из усло­вия по­это­му Тре­уголь­ни­ки D₁C₁E и BME по­доб­ны по трем углам, от­ку­да на­хо­дим, что то есть Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник BMN  — рав­но­бед­рен­ный. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AH на пря­мую MN. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая A₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN. Таким об­ра­зом, угол A₁HA  — ис­ко­мый.

Тре­уголь­ни­ки AHM и BMN по­доб­ны по ка­те­ту и остро­му углу, тогда Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да

Ответ: б) 

При­ве­дем ре­ше­ние Ивана Ива­но­ва из Вла­ди­во­сто­ка.

а)  Пусть точка F  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та A₁B₁C₁D₁. Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью BB₁D₁D по пря­мой FE, по­сколь­ку пря­мая A₁C₁ и точка E при­над­ле­жат плос­ко­сти се­че­ния. Пусть точка G  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых FE и BD. Эта точка при­над­ле­жит плос­ко­сти се­че­ния и плос­ко­сти ABCD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но, Тре­уголь­ни­ки BEG и D₁EF по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Из по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков на­хо­дим:

Плос­ко­сти верх­не­го и ниж­не­го ос­но­ва­ний приз­мы па­рал­лель­ны, по­это­му плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABCD по про­хо­дя­щей через точку G пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на диа­го­на­ли квад­ра­та AC, ко­то­рая, в свою оче­редь, па­рал­лель­на пря­мой A₁C₁. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­сколь­ку Сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, по­стро­е­но ис­ко­мое се­че­ние  — тра­пе­ция A₁C₁NM.

б)  Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та ABCD. Сле­до­ва­тель­но, Вы­чис­лим тан­генс ис­ко­мо­го угла:

от­ку­да ис­ко­мый угол равен 

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде:

Мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. а)  Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK  =  x. Пусть S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p  — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R  =  x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 5R, 4R и 3R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б)  Пусть I и O  — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC  =  5R  =  10, и OM  =  AO − AM  =  5 − 2R  =  1.

Тогда

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Гри­го­рия Осо­ки­на.

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда от­ре­зок IM пер­пен­ди­ку­ля­рен AС. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка IAM по­лу­чим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ICM по­лу­чим Из тре­уголь­ни­ка AIC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

Сле­до­ва­тель­но,

За­ме­тим, что как тупой угол, об­ра­зу­е­мый бис­сек­три­са­ми углов, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние пунк­та а).

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда

При­ме­ним фор­му­лу тан­ген­са двой­но­го угла:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, эти углы в сумме со­став­ля­ют 90 гра­ду­сов, тогда угол

Ре­ше­ние. Про­из­ведём за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­чим:

Пусть те­перь

При t  ≥  0 функ­ция g(t) убы­ва­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до При t  <  0 функ­ция g(t) воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до Зна­чит,

Функ­ция f(t) при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при причём на про­ме­жут­ке (0; +∞) функ­ция воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до а на про­ме­жут­ке (−∞; 0)  — убы­ва­ет (функ­ция чётная), при­ни­мая все зна­че­ния от до

По­сколь­ку наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при одном и том же зна­че­нии урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда то есть

1.  При a ≥ 0 по­лу­ча­ем

2.  При a < 0 по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вый день На­та­ша и Маша сде­ла­ли n и m фо­то­гра­фий со­от­вет­ствен­но, всего они де­ла­ли сним­ки в те­че­ние k дней. По­сколь­ку На­та­ша сде­ла­ла на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша, по­лу­ча­ем:

а)  Если то есть в пер­вый день На­та­ша сде­ла­ла на 143 фо­то­гра­фии боль­ше, чем Маша, то Зна­чит, На­та­ша могла за семь дней сде­лать на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

б)  По­сколь­ку 1001 крат­но k, но 1001 на 8 без остат­ка не де­лит­ся. Таким об­ра­зом, за во­семь дней На­та­ша не сде­ла­ла бы на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

в)  В по­след­ний день Маша сде­ла­ла мень­ше 40 фо­то­гра­фий, то есть от­ку­да По­сколь­ку k яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 1001 и либо либо либо

По­сколь­ку ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий На­та­ши от­ли­ча­ет­ся от Ма­ши­ных на кон­стан­ту, будем мак­си­ми­зи­ро­вать ко­ли­че­ство сним­ков Маши.

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий, сде­лан­ных Машей, равно 429, а На­та­шей  — 429 + 1001  =  1430.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1430.