а)  Плос­кость BOC пе­ре­се­ка­ет грань A₁B₁C₁D₁ по пря­мой, па­рал­лель­ной пря­мой BC. Тогда эта плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер A₁B₁ и C₁D₁  — точки K и M со­от­вет­ствен­но. Ана­ло­гич­но плос­кость AOB про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер B₁C₁ и A₁D₁  — точки L и N. Пусть и тогда и Из рав­ных по двум ка­те­там пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков BB₁K и BB₁L по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем

то есть

От­сю­да по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое.

б)  Пусть пря­мые AA₁ и BK пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке A₁KP вы­со­ту A₁H. Про­ек­ция пря­мой A₁H на плос­кость A₁B₁C₁ есть пря­мая AB, а тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые A₁H и KM пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пря­мые A₁H и BK пер­пен­ди­ку­ляр­ны по по­стро­е­нию. Зна­чит, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая A₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCO, и угол A₁CH  — ис­ко­мый.

Тре­уголь­ни­ки A₁PK и B₁BK равны по ка­те­ту и остро­му углу. Из пунк­та а) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы:

Квад­рат длины диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов длин трех его из­ме­ре­ний, от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁CH:

то есть

Ответ: б) 

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Пусть точки M, L, P, Q  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, D₁C₁, B₁C₁ и A₁D₁ со­от­вет­ствен­но. Пря­мая ML па­рал­лель­на пря­мой CB, а пря­мая PQ  — пря­мой AB. Пусть Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков BMB₁ и PBB₁ по­лу­ча­ем:

то есть по­это­му че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — квад­рат по опре­де­ле­нию.

б)  Пусть Из пунк­та а) Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда в вы­бран­ной си­сте­ме от­сче­та верны сле­ду­ю­щие ко­ор­ди­на­ты:

Урав­не­ние плос­ко­сти BOC имеет вид по­то­му что она про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек и по­лу­чим:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние плос­ко­сти есть то есть и Пусть угол φ  — ис­ко­мый, тогда

то есть