PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13; 1].
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
где l — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 36 км от А. Пробыв 2 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 17:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/час), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тысячу рублей?
Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается прямых BC и OM.
а) Докажите, что 
б) Отрезки AC и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь четырехугольника KODM, если OM = 2.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и n2.
и 
км/ч, а скорость катера против течения равна 
км/ч. На весь путь катер затратил 
(часов), отсюда имеем:
Найдём значение k:
Найдём значения коэффициентов a и b:
б) 
—
Следовательно, площадь трапеции равна
и 
имеют одинаковые знаки. Получим:
Следовательно, 
По теореме Менелая для треугольника BMD и секущей OK получим:
Найдем площадь четырехугольника KODM:
тогда 
Раскроем модули:
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, либо должно иметь единственное решение, большее чем 4. Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 4 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
Следовательно, n2 не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.
и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы 
было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа 
было кратно 28. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на 2. Более того, один из множителей должен нацело делиться на 7. Минимальное натуральное четное число, кратное 7 — это 14, откуда n = 13. В качестве примера можно выбрать числа 1, 169 = 132 и еще 8 любых других чисел, дающих при делении на 28 остаток 1.