В тре­уголь­ни­ке ABC AB  =  BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 142°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те длину век­то­ра если

Одна из гра­ней пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да  — квад­рат. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна  и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью этой грани угол 45°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

В празд­нич­ном на­бо­ре 100 ша­ри­ков: 20 крас­ных, 30 синих, осталь­ные жел­тые и зе­ле­ные, их по­ров­ну. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что из на­бо­ра до­ста­ли один шарик си­не­го или жел­то­го цвета?

Са­дов­ник при­нес две кор­зин­ки фрук­тов. В одной из них 3 яб­ло­ка и 9 пер­си­ков, а в дру­гой  — 12 яблок и 18 пер­си­ков. Хо­зяй­ка, не глядя, взяла из каж­дой кор­зин­ки по од­но­му фрук­ту. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что она до­ста­ла два яб­ло­ка или два пер­си­ка?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке [−2,5; 9].

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 249 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где   — ско­рость звука в воде,   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая при­ем­ни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 6 м/с.

Заказ по из­го­тов­ле­нию де­та­лей уче­ник то­ка­ря может вы­пол­нить за 15 часов, а то­карь  — за 12 часов. Уче­ник начал вы­пол­нять такой заказ. Через какое время после на­ча­ла вы­пол­не­ния за­ка­за уче­ни­ком нужно на­чать ра­бо­ту то­ка­рю, чтобы в этом за­ка­зе де­та­лей, из­го­тов­лен­ных уче­ни­ком, было в два раза боль­ше де­та­лей, из­го­тов­лен­ных то­ка­рем? Ответ дайте в часах.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ос­но­ва­ние ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком со сто­ро­на­ми 5 и 12, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC и па­рал­лель­ная пря­мой B₁D, пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке K. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и ACK равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что угол KOB мень­ше 45°.

б)  Най­ди­те объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

18 ап­ре­ля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 11 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-⁠го по 17-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вне­сти пла­теж в счет по­га­ше­ния долга;

  — 18-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 10-⁠й долг дол­жен быть на 40 тысяч руб­лей мень­ше долга на 18-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 18-⁠му числу 11-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма пла­те­жей после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 477 000 руб­лей?

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ну C пря­мо­уголь­ни­ка ABCD и ка­са­ет­ся его сто­рон AB и AD в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но. К хорде KP про­ве­ден пер­пен­ди­ку­ляр CH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CKH и CPD по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, если CH  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

На столе лежат вы­ре­зан­ные из бу­ма­ги квад­ра­ты и пря­мо­уголь­ни­ки, раз­ме­ры сто­рон ко­то­рых  — на­ту­раль­ные числа. Для каж­до­го квад­ра­та обя­за­тель­но най­дет­ся пря­мо­уголь­ник, рав­ный ему по пло­ща­ди, но ши­ри­ной на 7 мень­ше, чем сто­ро­на квад­ра­та. И на­о­бо­рот, для каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка обя­за­тель­но найдётся квад­рат, рав­ный ему по пло­ща­ди, со сто­ро­ной на 7 боль­ше, чем его ши­ри­на.

а)  Может ли ле­жать на столе пря­мо­уголь­ник ши­ри­ной 14?

б)  Может ли ле­жать на столе пря­мо­уголь­ник дли­ной 28?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных фигур может ле­жать на столе?