ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 672944 Добавить в вариант

На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых  — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.

а)  Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 14?

б)  Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 28?

в)  Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?

Спрятать решение

Решение.

а)  Вместе с таким прямоугольником должен быть квадрат со стороной 14 + 7  =  21 и площадью 441. Значит, и площадь прямоугольника должна быть 441, поэтому его длина должна быть равна $дробь: числитель: 441, знаменатель: 14 конец дроби ,$ что нецелое.

б)  Пусть ширина прямоугольника x, тогда на столе есть равновеликий с прямоугольником квадрат со стороной x + 7, откуда

$левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате = 28x равносильно x в квадрате минус 14x плюс 49=0 равносильно x=7.$

Значит, на столе может лежать прямоугольник с шириной 7 и длиной 28, и равновеликий ему квадрат со стороной 14.

в)  Пусть ширина прямоугольника a, а длина b. Тогда на столе есть равновеликий с прямоугольником квадрат со стороной a + 7, откуда

$левая круглая скобка a плюс 7 правая круглая скобка в квадрате = ab равносильно a в квадрате плюс 14a плюс 49 = ab равносильно 49 = a левая круглая скобка b минус 14 минус a правая круглая скобка .$

Значит, 49 кратно a, откуда получаем три варианта:

$a = 1, \qquad \quad b минус 14 минус a = 49, \quad b = 64,$

$a = 7, \qquad \quad b минус 14 минус a = 7, \qquad b = 28,$

$a = 49, \qquad b минус 14 минус a = 1, \qquad b = 64.$

К каждому прямоугольнику есть парный квадрат и все они разные, поэтому на столе могут лежать максимум 6 фигур.

Ответ: а)  нет, б)  да, в)  6.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 672806: 672944 691289 Все

Источник: Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 2

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь