В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 5 и 12, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Пусть отрезок BH — высота треугольника ABC, точка O — середина AC. Эти высоты не совпадают, потому что треугольник ABC не равнобедренный. Отрезок BH является проекцией отрезка KH на плоскость ABC, поэтому по теореме о трех перпендикулярах отрезок KH перпендикулярен отрезку AC. По условию 
Значит, треугольник KHB — равнобедренный и 
Тогда в треугольнике KBO 
следовательно, 
б) Из параллельности отрезка B1D и плоскости AKC следует параллельность отрезков B1D и KO, иначе бы отрезок B1D и плоскость AKC пересеклись. Значит, отрезок KO — средняя линия треугольника BB1D, 
Найдем длину отрезка BH. Из треугольника ABC 
откуда
Искомый объем равен
Ответ: 