Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 661317
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 тан­генс в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс 4 = 0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 3 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим урав­не­ние

2 тан­генс в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс 4=0 рав­но­силь­но 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс 4=0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 5 ко­си­нус x плюс 2=0, ко­си­нус x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x= минус 2, ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  Най­дем корни, ле­жа­щие в за­дан­ном от­рез­ке, решая двой­ные не­ра­вен­ства:

3 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

3 Пи мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Не­ра­вен­ство (1) не имеет ре­ше­ний в целых чис­лах, из не­ра­вен­ства (2) по­лу­ча­ем k  =  2. Тогда ис­ко­мый ко­рень дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Отобрать корни можно, ис­поль­зуя три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (см. рис.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 500637: 500638 501548 501554 ... Все

Источники:
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025