PDF-версии: 1. Тип 13 № 643200 
Источники:
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения
Методы алгебры: Разложение на множители
Уравнения. Логарифмические уравнения
i
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Уравнение имеет вид
Преобразуем его:
б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Заметим, что 
тогда
Следовательно, 
Значит, отрезку 
принадлежит только корень 
Ответ: a) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: a) б)
б) 643200
a) б)
б) Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения
Методы алгебры: Разложение на множители
откуда 
по теореме, обратной теореме Пифагора. Тогда, учитывая, что плоскости ACD и ABD перпендикулярны, получаем, что проекция прямой CD на плоскость ABD — это прямая AD, а значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок KL перпендикулярен ребру CD.
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость KLM перпендикулярна ребру CD, поскольку отрезок KL перпендикулярен ребру CD и отрезок LM перпендикулярен ребру CD.
а потому 
Пусть теперь отрезок MS пересекает ребро BC в точке P. По теореме Менелая для треугольника BCD находим:
откуда 
Прямая CH перпендикулярна AD и прямая BH перпендикулярна AD, следовательно, угол BCH — это угол между плоскостями ABD и ACD, угол BHC равен 90 градусов. Из прямоугольного треугольника BHC получим 
В прямоугольном треугольнике PMC 
тогда
тогда
и 
Тогда
Тогда
то есть
Тогда 
и 
Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобия, находим:
Учитывая, что 
Тогда
Оттуда сразу следует, что 
при любом положении точки M. Действительно, 
а 
— угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, PH — биссектриса 
— биссектриса 
Следовательно, 
тогда
тогда 
откуда 
Далее, 
Следовательно, 
и 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяют отрезок, расположенный внутри квадрата 
лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат. 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми 
и 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми 
и 
и 
и 
Случаю удовлетворяют лучи этих прямых, расположенные вне полос 
и 
прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
или при 
прямая m пересекает график Г в одной точке.
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
Тогда по теореме Виета 
а 
Число 5 является простым, поэтому единственный возможный вариант корней 
Тогда получаем единственное возможное значение: 
а дискриминант уравнения 
Уравнение имеет два корня, следовательно, дискриминант уравнения положителен. Тогда:
Наименьшее натуральное значение p, удовлетворяющее полученному неравенству, равно 12.
то 
