РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 52142198

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал

Острый угол B прямоугольного треугольника равен 73°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB  =  3, BC  =  7, BB₁  =  5.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза монетка упадет одной и той же стороной.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,19. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: 4x плюс 32 конец аргумента =8.$

Найдите значение выражения $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

На рисунке изображен график производной функции f(x). В какой точке отрезка [0; 2] f(x) принимает наименьшее значение?

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =13,5$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16200 Дж.

Поля и Оля вспахивают грядку за 14 минут, а одна Оля  — за 112 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Поля?

10.  

На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(5).

11.  

Найдите точку максимума функции $y=x в кубе минус 12x плюс 23.$

12.  

a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

13.  

Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что $A K: K C=3:7.$ Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN  — квадрат со стороной 3.

а)  Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

14.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 27 в степени левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 10 умножить на 9 в степени x плюс 10 умножить на 3 в степени x минус 5, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени x плюс 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени x минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 1 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

15.  

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

  — в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

  — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 311 040 рублей?

Год (номер года)	Долг в январе (в руб.)	Выплата (в руб.)	Долг в июле (в руб.)
2023			S
2024 (1)	kS	x	$kS минус x$
2025 (2)	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x$
2026 (3)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x$
2027 (4)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x=0$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

16.  

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.

Решение. а)  Пусть O  — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA  — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK  — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K  — середина AB. Аналогично M  — середина AC, поэтому KM  — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б)  Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

$OH= корень из: начало аргумента: OB в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 64 конец аргумента =6.$

Пусть Q  — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

$OF = OH минус FH =OH минус QP = 6 минус 5 = 1,$ $PH в квадрате =QF в квадрате =QO в квадрате минус OF в квадрате = 25 минус 1 =24,$ $OP в квадрате =OH в квадрате плюс PH в квадрате = 36 плюс 24 = 60,$

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

$AP= корень из: начало аргумента: OA в квадрате минус OP в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 60 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

$AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Ответ: б) $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а)  Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда $\angle TAB=\angle ACB$ и $\angle TAB=\angle AMK,$ поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда $\angle ACB=\angle AMK.$ равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б)  По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM  — средняя линия треугольника ABC, и $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP$ по теореме Фалеса. Осталось найти AР.

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рис. справа). Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: $OP:OH=OA:OP,$ то есть $OP:6=10:OP.$ Следовательно, $OP= корень из: начало аргумента: 60 конец аргумента .$ По теореме Пифагора $AP= корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента .$ Окончательно получаем: $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Примечание Дмитрия Гущина.

Читатель, изучающий углубленный курс геометрии или занимавшийся в кружке, сразу заметит, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 меньшая окружность переходит в большую, а хорда KM переходит в хорду BC. Из этого сразу следует и параллельность прямыx KM и BC, и соотношение $BC = 2 KM.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 5 x минус 3 конец аргумента умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

18.  

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 32 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 50 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Решение. а)  Да. Первым ходом Егор отрежет от линейки 16 см и получит две линейки по 16 см. Вторым ходом отрежет ото всех линеек 8 см и получит четыре линейки по 8 см. Третьим отрежет по 4 см и получит 8 линеек по 4 см. Четвертым ходом он отрежет по 2 см и получит 16 линеек по 2 см. Последним, пятым ходом отрежет по 1 см и получит 32 части по 1 см.

б)  Нет. За один ход Егор делит некоторое количество своих частей на две, поэтому каждым ходом общее количество частей увеличивается не более, чем в 2 раза. Следовательно, за 4 хода Егор получит не более 16 частей, а необходимо получить 50 частей.

в)  За восемь ходов Егор получит не более 256 частей, а необходимо получить 300 частей, поэтому восьми ходов не хватит. Покажем, как Егор может разделить линейку за девять ходов. Каждым ходом, кроме последнего, Егор отрезает указанную часть от всех имеющихся у него линеек. Последним ходом Егор отрезает 1 см только от линеек, длина которых больше одного сантиметра.

Ход	Было линеек	Отрезано	Стало линеек
1.	300 см	150 см	2 по 150 см
2.	2 по 150 см	75 см	4 по 75 см
3.	4 по 75 см	37 см	4 по 37 см и 4 по 38 см
4.	4 по 37 см и 4 по 38 см	19 см	12 по 19 см и 4 по 18 см
5.	12 по 19 см и 4 по 18 см	9 см	20 по 9 см и 12 по 10 см
6.	20 по 9 см и 12 по 10 см	5 см	44 по 5 см и 20 по 4 см
7.	44 по 5 см и 20 по 4 см	2 см	84 по 2 см и 44 по 3 см
8.	84 по 2 см и 44 по 3 см	1 см	212 по 1 см и 44 по 2 см
9.	212 по 1 см и 44 по 2 см	1 см	300 по 1 см

Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) за 9 ходов.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639740	28
2	639741	35
3	639742	0,5
4	639743	0,59
5	639744	8
6	639745	4,5
7	639746	2
8	639747	9,6
9	639748	16
10	639749	32
11	639750	-2
12	639751	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
13	639754	201 300.
14	639756	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби ; минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$
15	639757	а) да, может; б) нет, не может; в) за 9 ходов.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал

Ключ