Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
а) Пусть точка H — середина AC. Тогда
Вместе с тем,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1. Отметим, что прямые NP и A1A взаимно перпендикулярны, поскольку ребро призмы перпендикулярно ее основанию. Следовательно, прямая NP перпендикулярна плоскости ABB1 боковой грани призмы. Поэтому прямая MP — проекция прямой MN на плоскость ABB1.
Прямые BM и MN взаимно перпендикулярны, поэтому, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, прямые BM и MP также взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого двугранного угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть 
Поэтому
Следовательно, 
Ответ: б) 
----------
Дублирует задание 510019.
-------------
Дублирует задание № 510019.Спрятать критерии
Пункт б): по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах.
Школьные учебники дают разные формулировки теоремы о трех перпендикулярах. В одних учебниках приводится теорема о трех перпендикулярах и обратная ей (учебник Атанасяна). В других (например, учебник Александрова, Вернера, Рыжика) формулировка дана в виде «тогда и только тогда», что не подразумевает отдельной обратной теоремы. Поэтому ссылка на теорему о трех перпендикулярах корректна, снижать за нее оценку нельзя.
С другой стороны, учебник Атанасяна является самым массовым, и потому многие учащиеся упоминание прямой теоремы вместо обратной могут воспринять как ошибку. Чтобы случайно не ввести их в заблуждение, внесли это изменение.