1. Тип 13 № 563653 
Источники:
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Группировка, Формулы двойного угла
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
a) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Используем формулу синуса двойного угла, вынесем общий множитель за скобки, выделим полный квадрат:
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 563653
а) б)
б) 
по доказанному ранее, 
= 10, тогда по теореме Пифагора SO = 24. Далее, так как O — середина AB, а OK || BC (как перпендикуляры к AC), то OK — средняя линия треугольника ABC, откуда 
Далее, по теореме Пифагора, 
а значит, 
тогда:
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Это и требовалось доказать.
Тогда треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что
а тогда 
обозначим левую и правую части f(x) и g(x) соответственно и построим графики этих функций. Их графиков получим следующее.
уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
два решения есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
или 
получаем 
получаем 
система не имеет решений, при 
имеем 
получаем
и 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение не имеет корней; 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение имеет два корня 
и 
равенство будет выполнено. Следовательно, 117 − один из возможных примеров.
следовательно, левая часть равенства не меньше 94, а правая часть не больше 45. Противоречие.
требуется найти максимально возможное целое x. Рассмотрим случай 
Тогда 
и минимальное возможное b, при котором x будет целым, равно 3. Тогда 
Заметим, что при 
получим 
Имеем: 
получим 
Имеем: 
найдем 
и 
Из исходного соотношения получаем: 
то есть 