РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 34184539

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 6.$

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Найдите корень уравнения $\log }_2} левая круглая скобка 15 плюс x правая круглая скобка =\log _23.$

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, $BH = 12,$ $тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите $AH.$

На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots ,$ $x_8.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ убывает?

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

Найдите $тангенс альфа ,$ если $дробь: числитель: 3 синус альфа минус 5 косинус альфа плюс 2, знаменатель: синус альфа плюс 3 косинус альфа плюс 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

10.  

Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 30$ м/⁠с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с $в квадрате .$

11.  

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/⁠ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/⁠ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч.

Решение. Пусть $v$ км/ч  — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $v минус 13$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 78 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: v минус 13 конец дроби \underset v больше 48\mathop равносильно 2 умножить на 78 левая круглая скобка v минус 13 правая круглая скобка = v в квадрате минус 13 v плюс 78 v равносильно$

$равносильно v в квадрате минус 91 v плюс 52 умножить на 39=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =52; новая строка v =39 конец совокупности . \underset v больше 48\mathop равносильно v =52.$

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/⁠ч.

Ответ: 52.

Примечание.

По условию оба автомобиля проехали одинаковое расстояние за одно и то же время, а значит, средние скорости их движения равны. Поэтому из приведенного решения следует, что средняя скорость второго автомобиля равна 52 км/⁠ч, его скорость на первой половине пути составляет 52 − 13  =  39 км/⁠ч, а скорость на второй половине пути  — 78 км/⁠ч. Невнимательный читатель мог бы решить, что в решении ошибка, поскольку $дробь: числитель: 39 плюс 78, знаменатель: 2 конец дроби не равно 52.$ Однако противоречия нет.

Первую половину пути автомобиль ехал с меньшей скоростью, значит, он затратил на первую половину пути больше времени, чем на вторую. Поэтому среднюю скорость нельзя находить по формуле $дробь: числитель: 39 плюс 78, знаменатель: 2 конец дроби .$ Пусть половина пути между пунктами А и В равна х км, тогда для прохождения первой половины пути второму автомобилю потребовалось $дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби$ часов, для прохождения второй половины пути  — $дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби$ часов, а всего $дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби$ часов. Тогда средняя скорость второго автомобиля составит

$дробь: числитель: 2x, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 39 умножить на 78, знаменатель: 39 плюс 78 конец дроби =52$ км/ч,

то есть действительно будет равна скорости первого автомобиля.

12.  

Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 5.$

13.  

а)  Решите уравнение $2x косинус x минус 8 косинус x плюс x минус 4=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — середина ребра AS.

а)  Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б)  Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $\lg в степени 4 x минус 4\lg в кубе x плюс 5\lg в квадрате x минус 2 десятичный логарифм x\geqslant0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что $синус \angle AOC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$ Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение $QK:KA.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Дата	14.02	14.03	14.04	14.05	14.06	14.07
Долг, руб.	105	94,5	84	73,5	63	52,5
Выплата, руб.	15	14,5	14	13,5	13	52,5
Остаток долга на день выплаты, руб.	90	80	70	60	50	0
Остаток долга на день выплаты, %	90%	80%	70%	60%	50%	0%

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс |y| минус 15=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы .$

имеет ровно $6$ решений.

Решение. Запишем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y| = 16, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

Полагая $u = x минус 1,$ получим систему

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y)  — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо $u = 0,$ либо $y = 0.$

Если u  =  0, то $y = \pm 16,$ следовательно, $a = \pm 16.$ Система

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 256 конец системы .$

имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.

Если y  =  0, то $u в квадрате = 16,$ следовательно, $a = \pm 4.$ Получаем систему:

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 16 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате = |y|, u в квадрате плюс |y| = 16 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y = 0, y = 1, y = минус 1, конец системы . u в квадрате плюс |y| = 16. конец совокупности .$

Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.

Ответ: $a= минус 4, a = 4.$

Приведем идею графического решения.

Запишем систему в виде

$система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

$y= система выражений новая строка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,y больше или равно 0, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16,y меньше 0. конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$

На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки $левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка ,$ пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен $4,$ откуда $a= минус 4$ или $a=4.$

*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$ и

$g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.

При любом значении параметра а справедливо следующее:

а)  Графики функций симметричны относительно прямой x  =  1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.

б)  Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет не больше четырех решений. Действительно,

$16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$

а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.

в)  Из пунктов  а) и б) следует, что слева от прямой x  =  1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при $x меньше 1$ соответствует симметричная относительно прямой x  =  1 общая точка графиков.

При $a=\pm 4$ функции f и g обладают следующими свойствами:

г)  Функции f и g в точке x  =  –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.

д)  Правые касательные лучи к графикам в точке x  =  –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе  — нет.

е)  Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x  =  –3 график функции f лежит ниже графика функции g.

ё) В точке x  =  1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 16,$ $g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 2.$

ж)  Из пунктов  е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x  =  1 общую точку на интервале (1; 5).

з) Из пунктов  б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.

и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при $a=\pm 4$ графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.

к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов  з) и и) следует, что при $a=\pm 4$ система уравнений $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16,$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате$ имеет ровно шесть решений.

Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.

Примечание Дмитрия Гущина.

Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:

а)  очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;

б)  изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;

в)  напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).

Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

19.  

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение. Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса $S_1$ ), b овощей весят 1000 г (их суммарная масса $S_2$ ), c овощей легче 1000 г (их суммарная масса $S_3$ ). Тогда условие записывается системой:

$система выражений a плюс b плюс c=73, S_1 плюс S_2 плюс S_3=73000, S_1=1030a, S_2=1000b, S_3=988c. конец системы .$

а)  В этом случае $a=c$ и $b=73 минус 2a.$ Из системы имеем: $1030a плюс 1000 умножить на левая круглая скобка 73 минус 2a правая круглая скобка плюс 988a=73000,$ откуда $a=0.$ Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1030 г.

б)  В этом случае $b=11.$ Тогда из системы имеем: $11 плюс a плюс c=73$ и $1030a плюс 11000 плюс 988c=73000,$ откуда $21a=372.$ Но тогда a  — нецелое число. Противоречие.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

$дробь: числитель: x плюс 999 умножить на левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: c конец дроби =999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби .$

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988 ,$ получаем $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное $c.$

Из уравнения $1030a плюс 1000b плюс 988c=73000$ следует, что $с$ кратно 5. Кроме того, c меньше 73. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения (b может равняться и 0), это $c=50$ $левая круглая скобка a=20, b=3 правая круглая скобка .$ Необходимо убедиться, что c не может равняться 70, 65, 60 и 55. Подставляя эти значения c в уравнение, мы получим, что $103a плюс 100b$ может равняться 384, 878, 1372, 1866. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, $103a плюс 100b=384.$ Это означает, что $3a минус 84=100 умножить на левая круглая скобка 3 минус a минус b правая круглая скобка .$ То есть $3a минус 84$ кратно 100. Аналогично, $3a минус 78, 3a минус 72, 3a минус 66$ кратны 100. Это означает, что a в этих случаях как минимум 22, но тогда b, очевидно, отрицательно.

Тогда минимальное возможное x получается из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x=449$ (иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  449.

Приведем решение, предложенное Никитой Фединым.

Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, b овощей весят по 1000 г, c овощей легче 1000 г. Тогда

$1030a плюс 1000b плюс 988c=1000 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $a=0,4c.$

а)  Если в ящике равное количество овощей массой меньше 1000 г и массой больше 1000 г, то $a=c.$ C учетом равенства $a=0,4c,$ это может быть только при $a=c=0,$ что противоречит условию задачи. Поэтому ответ  — нет.

б)  Допустим, в ящике ровно 11 овощей массой 1000 г, тогда $a плюс c=73 минус 11=62.$ Подставив $a=0,4c,$ получим $1,4c=62.$ Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, поэтому в ящике не может быть ровно 11 овощей весом 1000 г.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988 ,$ получаем, что $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c. По условию задачи $a плюс b плюс c = 73,$ тогда $a плюс c меньше или равно 73,$ следовательно, $1,4c меньше или равно 73 равносильно c меньше или равно 52.$ Значение c должно быть кратным 5, чтобы значение $a=0,4c$ было целым. Поэтому $c=50.$

Минимальное возможное x получим из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x=449.$ Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509077	25
2	27519	7
3	324460	17
4	320191	0,04
5	26649	-12
6	27358	27
7	317542	5
8	27108	18
9	26791	2,25
10	27998	30
11	26579	52
12	282859	2
13	517829	а) $левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$
14	520974	б) $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
15	514256	$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 100; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
16	517516	б) $1:4.$
17	513106	22,5.
18	484646	$a= минус 4, a = 4.$
19	526295	а)  нет; б)  нет; в)  449.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  пример в п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); ―  обоснование в п. в того, что равенства S  =  −1 и S  =  1 невозможны	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ