ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 532285 Добавить в вариант

Группа отдыхающих в течение 2 часов 40 минут каталась на моторной лодке по реке с постоянной (относительно воды) скоростью попеременно то по течению, то против: в каждую сторону  — не меньше, чем по 1 часу. В итоге лодка прошла путь в 40 км относительно берега и, отчалив от пристани А, причалила к пристани В на расстоянии 10 км от А. Найдите наибольшую возможную в этих условиях скорость течения реки.

Спрятать решение

Решение.

Лодка прошла путь 40 км, значит, суммарно в направлении от пристани А к пристани В лодка прошла путь 25 км, а в противоположном направлении  — 15 км.

Пусть υ км/ч  — скорость лодки относительно воды, x км/ч  — скорость течения реки. Скорость лодки относительно берега при движении в одну сторону равна $левая круглая скобка v плюс x правая круглая скобка$  км/ч, а в другую  — $левая круглая скобка v минус x правая круглая скобка$  км/ч. Отметим, что при положительных значениях x выражение $левая круглая скобка v плюс x правая круглая скобка$ соответствует скорости по течению, а при отрицательных значениях x  — скорости против течения. Справедлива система соотношений:

$система выражений дробь: числитель: 15, знаменатель: v минус x конец дроби плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: v плюс x конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 15, знаменатель: v минус x конец дроби \geqslant1, дробь: числитель: 25, знаменатель: v плюс x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 25, знаменатель: v плюс x конец дроби \geqslant1, дробь: числитель: 15, знаменатель: v минус x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Из второго и третьего неравенства системы получаем $v минус x меньше или равно 15 меньше или равно v плюс x.$ Значит, $x больше 0,$ и пристань В ниже по течению, чем А. Из четвёртого и пятого неравенств системы получаем, что

$система выражений v плюс x меньше или равно 25, v минус x\geqslant9 конец системы . равносильно система выражений v плюс x меньше или равно 25,x минус v \leqslant минус 9 конец системы . \Rightarrow x меньше или равно 8.$

Значит, скорость течения реки не может превышать 8 км/ч.

При $x=8$ получаем, что

$система выражений v плюс 8 меньше или равно 25, v минус 8\geqslant9 конец системы . равносильно система выражений v меньше или равно 17, v больше или равно 17 конец системы . равносильно v =17.$

Тем самым при $x=8, v =17$ все условия задачи будут выполнены. Следовательно, наибольшая возможная скорость течения реки равна 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2)

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь