ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526533 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс a, знаменатель: 5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс a, знаменатель: 5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате конец дроби =0 равносильно система выражений x в квадрате минус 4x плюс a=0,5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a= минус x в квадрате плюс 4x, левая круглая скобка 5x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a= минус x в квадрате плюс 4x,a не равно x ,a не равно 5x. конец системы .$ $дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс a, знаменатель: 5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате конец дроби =0 равносильно система выражений x в квадрате минус 4x плюс a=0,5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a= минус x в квадрате плюс 4x, левая круглая скобка 5x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a= минус x в квадрате плюс 4x,a не равно x ,a не равно 5x. конец системы .$

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы $a= минус x в квадрате плюс 4x$ и прямой $a=x$ найдём из уравнения $a= минус a в квадрате плюс 4a.$ Получаем $a=0$ или $a=3.$

Ординаты точек пересечения параболы $a= минус x в квадрате плюс 4x$ и прямой $a=5x$ найдём из уравнения $a= минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби плюс дробь: числитель: 4a, знаменатель: 5 конец дроби .$ Получаем $a=0$ или $a= минус 5.$

Ровно два решения исходное уравнение имеет при $a меньше минус 5,$ $минус 5 меньше a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 3,$ $3 меньше a меньше 4.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 5; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки 4	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек −5; 3 и/или 4 ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения	2
Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 526294: 526329 Все

Источники:

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 324;

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь