На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и залил в бак 29 лит­ров бен­зи­на по цене 33 руб. 70 коп. за литр. Какую сумму сдачи он дол­жен по­лу­чить у кас­си­ра? Ответ за­пи­ши­те в руб­лях.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена олова на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 3 по 18 сен­тяб­ря 2007 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена тонны олова в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа цена олова на мо­мент за­кры­тия тор­гов была наи­боль­шей за дан­ный пе­ри­од.

Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 5 уче­ных из Шве­ции, 7 из Ита­лии и 4 из Чехии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что две­на­дца­тым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Чехии.

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

Два угла тре­уголь­ни­ка равны 58° и 72°. Най­ди­те тупой угол, ко­то­рый об­ра­зу­ют вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, вы­хо­дя­щие из вер­шин этих углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пря­мая па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины рёбер: AB  =  15, AD  =  12, AA₁  =  16. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Вы­со­та над землёй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где h  — вы­со­та в мет­рах,   — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Какое время мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 5 мет­ров? Ответ дайте в се­кун­дах.

Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой  — 15 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 34% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 46% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да MABCD, все рёбра ко­то­рой равны 6. Точка N  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра MA, точка K делит бо­ко­вое ребро MB в от­но­ше­нии 5:1, счи­тая от вер­ши­ны M.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки N и K па­рал­лель­но пря­мой AD, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, при­чем мень­шая окруж­ность про­хо­дит через через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что sinAOC = Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние QK:KA.

Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

не имеет ре­ше­ний.

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5120.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 230?

б)  Можно ли обой­тись без числа 14?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, может быть на доске?