Ре­ше­ние. Кли­ент залил в бак бен­зи­на на сумму 33,70·29 = 977,30 руб­лей. Тогда он по­лу­чит от кас­си­ра 1000 − 977.30 = 22,7 руб­лей сдачи.

Ответ: 22,7.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шей цена была 10 сен­тяб­ря (см. рис.).

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. По­это­му

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет две­на­дца­тым, ока­жет­ся из Чехии, равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Дроби с оди­на­ко­вы­ми чис­ли­те­ля­ми равны в двух слу­ча­ях: а)  зна­ме­на­те­ли этих дро­бей равны и при этом от­лич­ны от нуля; б)  чис­ли­те­ли дро­бей равны нулю, при этом все зна­ме­на­те­ли от­лич­ны от нуля. По­лу­ча­ем:

Боль­ший из най­ден­ных кор­ней равен 6.

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции, рас­кро­ем скоб­ки, по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние:

Ис­ко­мый боль­ший ко­рень равен 6.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

При умно­же­нии на за­ви­ся­щие от пе­ре­мен­ной зна­ме­на­те­ли могли по­явить­ся по­сто­рон­ние корни, по­это­му не­об­хо­ди­ма про­вер­ка най­ден­ных ре­ше­ний под­ста­нов­кой в ис­ход­ное урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет два корня, боль­ший из ко­то­рых равен 6.

Ре­ше­ние. Cумма углов в вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке DOEC равна 360°, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 130.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Один из углов между вы­со­та­ми тре­уголь­ни­ка, про­ведёнными из двух его вер­шин, равен углу при тре­тьей вер­ши­не; дру­гой угол равен сумме углов тре­уголь­ни­ка, из вер­шин ко­то­рых про­ве­де­ны вы­со­ты. Тре­бу­ет­ся найти тупой угол между вы­со­та­ми, он равен 58° + 72°  =  130°.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния :

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние   — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и По­это­му углы и   — пря­мые. По­это­му се­че­ние   — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ: 300

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно 5 мет­ров. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 5 мет­ров, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее пяти мет­ров 1,6 − 0,4  =  1,2 се­кун­ды.

Ответ: 1,2.

Ре­ше­ние. Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — а кон­цен­тра­ция вто­ро­го  — Если сме­шать эти рас­тво­ры кис­ло­ты, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 34% кис­ло­ты: Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 46% кис­ло­ты: Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний.

Таким об­ра­зом, в пер­вом со­су­де со­дер­жит­ся кг кис­ло­ты.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Сведём урав­не­ние к квад­рат­но­му от­но­си­тель­но си­ну­са, ис­поль­зуя фор­му­лу Имеем:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку (см. рис.), по­лу­чим число

Ответ:а) б)

Ре­ше­ние. а)  Через точки N и K про­ведём пря­мые, па­рал­лель­ные ребру AD. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют рёбра MD и MC в точ­ках P и L со­от­вет­ствен­но. Четырёхуголь­ник KLPN  — се­че­ние пи­ра­ми­ды ука­зан­ной плос­ко­стью. Сто­ро­ны NP и KL па­рал­лель­ны и не равны. Сле­до­ва­тель­но, KLPN  — тра­пе­ция. В тре­уголь­ни­ках NMK и PML углы при вер­ши­не M равны, ML = MK, MN = MP. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, и по­это­му NK = PL. Таким об­ра­зом, тра­пе­ция KLPN рав­но­бед­рен­ная.

б)  Пусть NH  — вы­со­та тра­пе­ции KLPN. Имеем

Найдём NK из тре­уголь­ни­ка NMK. Имеем NM = NP = 3, MK = KL = 5. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов,

По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка KHN по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тра­пе­ции равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Так как AO  — диа­метр, а AM  — хорда, то зна­чит, AO пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность в P, AP  — диа­метр, тогда от­ку­да

По­сколь­ку и то что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Так как   — цен­траль­ный, то зна­чит,   — со­от­вет­ствен­ные углы. По­сколь­ку   — бис­сек­три­са тогда по свой­ству бис­сек­три­сы

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та S у. е., про­цент­ная став­ка банка x %.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Антон взя­тую сумму воз­вра­щал в банк рав­ны­ми до­ля­ми. Сумма, об­ра­зо­ван­ная при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки, со­став­ля­ет:

Общая сумма, вы­пла­чен­ная Ан­то­ном за 6 ме­ся­цев: (у. е.). А эта сумма по усло­вию за­да­чи равна у. е. Решим урав­не­ние:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние за­да­ет пря­мую. Эта пря­мая при всех a про­хо­дит через точку

Не­ра­вен­ство си­сте­мы за­да­ет объ­еди­не­ние круга с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом и точки Си­сте­ма не будет иметь ре­ше­ний тогда и толь­ко тогда, когда пря­мая не имеет общих точек с кру­гом и не про­хо­дит через точку

Пусть   — угол между ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­сти про­ведёнными из точки Тогда тан­генс угла об­ра­зо­ван­но­го этими ка­са­тель­ны­ми с пря­мой AK, равен (см.рис.). Вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой тан­ген­са двой­но­го угла, по­лу­чим Зна­чит, для ка­са­тель­ных к окруж­но­сти и

Пря­мая AM имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент

От­сю­да по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­но число 230 и 99 дру­гих раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма чисел на доске до­сти­га­ет­ся при усло­вии, что сумма 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ми­ни­маль­на. А это, в свою оче­редь, воз­мож­но, если 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма этих чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­ста­вит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть 230, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, числа 230 на доске быть не может.

б)  Пусть на доске не за­пи­са­но число 14. В таком слу­чае, ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма S чисел на доске будет со­сто­ять из двух сумм ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий: суммы пер­вых 13 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 1, 2, 3, ... 13) и суммы пер­вых 87 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 15,16,17,..101). Най­дем эту сумму:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет 14, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, без числа 14 на доске обой­тись нель­зя.

в)  До­пу­стим, что на доске вы­пи­са­ны все числа от 1 до 100. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что по­лу­чен­ный ряд со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном раз­но­стью По фор­му­ле для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии най­дем сумму всех чисел на доске:

По­лу­чен­ная сумма не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Те­перь, чтобы уве­ли­чить сумму всех чисел, на­пи­сан­ных на доске до обо­зна­чен­ной в усло­вии, по­про­бу­ем за­ме­нить числа, крат­ные 14, на дру­гие числа, сле­ду­ю­щие за сот­ней: 70 за­ме­ним на 110, 84  — на 104, а 98  — на 108. По­лу­чен­ная сумма S будет равна:

При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14 на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся и не со­от­вет­ство­вать усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 4.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та в).

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, крат­ных 14 (14, 28, 42, 56):

До­ка­жем, что не может быть трех чисел, крат­ных 14. Чтобы убрать мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, не­об­хо­ди­мо, чтобы раз­но­сти между но­вы­ми и ста­ры­ми чис­ла­ми были ми­ни­маль­ны­ми. То есть за­ме­нять надо наи­боль­шие числа, крат­ные 14, на наи­мень­шие воз­мож­ные, боль­шие ста числа. Пусть ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 3. Тогда ми­ни­маль­ная сумма за­пи­сан­ных на доске чисел равна:

По­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120. При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14, на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся, зна­чит, на доске не может быть мень­ше че­ты­рех чисел, крат­ных 14.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.