PDF-версии: 1. Тип 13 № 521004 
Источники:
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов
Методы алгебры: Формулы сложения и вычитания, Формулы двойного угла
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение: 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Воспользуемся формулой синуса суммы:
Заметим, что в силу основного тригонометрического тождества 
Перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую:
б) Отберём корни с помощью тригонометрической окружности на отрезке Получим числа 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 521004
а) б)
б) 
— образующая цилиндра. Тогда 
— прямоугольник, поэтому угол между прямыми 
и BC равен углу 
параллельная прямой BC, перпендикулярная прямым AB и 
Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости 
а значит, угол 
прямой.
Таким образом, гипотенуза AC1 прямоугольного треугольника AB1C1 вдвое больше катета. Следовательно, 
а искомый 
и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.
как противоположные углы в параллелограмме. Они также являются вписанными углами, поэтому и дуги BE и BK равны. Следовательно, хорды BK и BE равны, поскольку они стягивают равные дуги.
как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, дуги BK и BE равны 
Тогда дуга KE равна 
Поэтому вписанный 
Тогда по теореме синусов для треугольников ABC и BKE
поэтому наше уравнение примет следующий вид:
Тогда первая строчка системы выглядит как 
а вся система имеет ровно два различных решения. Значит, 
или 
Подставим поочередно оба этих значения в первую строчку системы и решим квадратное уравнение относительно x.
То есть, уравнение-следствие имеет два корня при 
То есть уравнение-следствие имеет два корня при 
и получим ответ: 
а их среднее арифметическое больше 5.
Сумма шести наименьших чисел равна 30, сумма шести наибольших чисел равна 90, сумма всех десяти чисел равна 110. Тогда 
то есть 
Но такого быть не может, поскольку 
и 
Пусть 
тогда 
значит, 
(иначе 
). Но тогда 
Противоречие. Значит, 
Тогда среднее арифметическое всех 10 чисел не превосходит 10,5.