На счету Же­ни­но­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на было 74 рубля, а после раз­го­во­ра с Вовой остал­ся 41 рубль. Сколь­ко минут длил­ся раз­го­вор с Вовой, если одна ми­ну­та раз­го­во­ра стоит 1 рубль 50 ко­пе­ек?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён тре­уголь­ник Най­ди­те длину его сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 136 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся 14 сумок, име­ю­щих скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная в ма­га­зи­не сумка ока­жет­ся с де­фек­та­ми. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что угол C равен Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). Сколь­ко из от­ме­чен­ных точек при­над­ле­жат про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции?

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Рей­тинг R ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где   — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми,   — оцен­ка ма­га­зи­на, дан­ная экс­пер­та­ми, K  — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на, если число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин, равно их сред­няя оцен­ка равна а оцен­ка экс­пер­тов равна

Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 50 кру­гов по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 4 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 30 минут. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 12 минут? Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F се­ре­ди­на ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль B₁D в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль DB₁ в от­но­ше­нии DO : OB₁  =  2 : 3.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (ABC), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а вы­со­та равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но и ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD.

а)  До­ка­жи­те, что точки C, D, M и N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Ге­ор­гий взял кре­дит в банке на сумму 804 000 руб­лей. Схема вы­пла­та кре­ди­та та­ко­ва: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет на 10 про­цен­тов остав­шу­ю­ся сумму долга, а затем Ге­ор­гий пе­ре­во­дит в банк свой оче­ред­ной пла­теж. Из­вест­но, что Ге­ор­гий по­га­сил кре­дит за три года, при­чем каж­дый его сле­ду­ю­щий пла­теж был ровно вдвое мень­ше преды­ду­ще­го. Какую сумму Ге­ор­гий за­пла­тил в тре­тий раз? Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4].

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b, c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 200. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 9?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 135?

в)  Какой наи­боль­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?