PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На счету Жениного мобильного телефона было 74 рубля, а после разговора с Вовой остался 41 рубль. Сколько минут длился разговор с Вовой, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек?
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник
Найдите длину его средней линии, параллельной стороне 
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 136 качественных сумок приходится 14 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами. Результат округлите до сотых.
Найдите корень уравнения 
В треугольнике ABC известно, что
угол C равен 
Найдите радиус вписанной окружности.
На рисунке изображён график функции
определенной на интервале (−8; 3). Сколько из отмеченных точек 
принадлежат промежуткам убывания функции?
В прямоугольном параллелепипеде
известны длины рёбер: 
Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и 
Найдите значение выражения 
Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле 
где 
— средняя оценка магазина покупателями, 
— оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 
их средняя оценка равна 
а оценка экспертов равна 
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 50 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 12 минут? Ответ дайте в км/ч.
Найдите значение выражения 
при 
а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
Решите неравенство 
Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.
а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.
Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Дано квадратное уравнение 
где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем
а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?
б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?
в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?
сумок, 14 сумок — дефектные. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется с дефектами, равна
принадлежат промежуткам убывания функции. Таких точек 4.
— параллелограмм. Кроме того, ребро AB перпендикулярно граням 
и 
Поэтому углы 
и 
— прямые. Поэтому сечение 
найдем 
км/ч. Обозначим скорость второго гонщика x км/ч, тогда скорость первого 
км/ч. Составим и решим уравнение:
:
тогда исходное уравнение принимает вид 
откуда 
или 
Следовательно,
корень 
не принадлежит отрезку 
корень 
принадлежит отрезку 
б) 
параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
тогда 
Таким образом, 
— подобны, откуда 
что и требовалось доказать.
и 
получаем, что 
Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Таким образом, угол PKB ― линейный угол искомого двугранного угла.
и 
из треугольника PBK находим: 
откуда 
Рассуждая аналогично, находим 
Тогда 
а значит, 
и, таким образом, 
рублей,
рублей,
получаем 
рублей.
и график корня 
пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая 
пересекаются в точке 
График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.
дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при 
то решением системы является полуинтервал 
имеющий общие точки с отрезком [3; 4].
то 
Тогда решением системы является отрезок 
Он существует, если
этот отрезок вырождается в точку 4, система имеет единственное решение 
это решение лежит на отрезке [3; 4]. 
то 
В этом случае решением системы является полуинтервал 
Этот полуинтервал существует, если
имеет корень 135. Тогда 
откуда 
а значит, число с кратно 135. Среди натуральных чисел, не больших 200, такое число только одно: 
Подставляя в (*) вместо с число 135 и сокращая на 135, получаем 
откуда 
Если 
то 
поэтому 
Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число 135. 
имеет корень 100 и полностью удовлетворяет условию задачи. 
б) нет; в) 100.