Ре­ше­ние. Если   — не целое число, тогда тоже не­це­лое, ре­ше­ний нет.

Если

Если при де­ле­нии на 3 дает оста­ток два.

Пусть тогда   — крат­но 3.

Пусть тогда   — при де­ле­нии на 3 оста­ток 1.

Пусть тогда   — при де­ле­нии на 3 оста­ток 1.

Таким об­ра­зом, квад­рат це­ло­го числа не дает оста­ток 2 при де­ле­нии на 3, зна­чит, при ре­ше­ний нет.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, 50 и 60 сол­дат по 10 че­ло­век в ряду.

б)  Не­об­хо­ди­мо, чтобы в обеих ротах было ко­ли­че­ство че­ло­век, крат­ное 13. Но два наи­мень­ших числа, крат­ных 13 и боль­ших 46, это числа 52 и 65, чья сумма со­став­ля­ет 117, что есть боль­ше, чем 111. Сле­до­ва­тель­но, при­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Из пунк­та б) из­вест­но, что 13 сол­дат в одном ряду быть не может. Легко про­ве­рить, что 14, 15 также быть не может. Боль­шее ко­ли­че­ство также быть не может, так как тогда общее ко­ли­че­ство будет боль­ше, чем Зна­чит, нужно про­ве­рять толь­ко ва­ри­ан­ты 9, 10, 11 и 12 че­ло­век в ряду.

Пусть 9 сол­дат в ряду. Тогда воз­мож­ное общее ко­ли­че­ство таких людей 99 или 108. Пред­по­ло­жим, что их 99, тогда в пер­вом взво­де может быть 47, 48, 49 че­ло­век, во вто­ром  — 52, 51, 50 че­ло­век со­от­вет­ствен­но. Ни одна из этих пар не де­лит­ся на 9, по­это­му дан­ное ре­ше­ние не под­хо­дит. Для 108 людей в роте: пер­вый взвод  — 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53 вто­рой  — 61, 60, 59, 58, 57, 56 55. Так же как и в пер­вом слу­чае, по­лу­чи­ли, что под­хо­дя­щих пар, де­ля­щих­ся на 9, нет.

Пусть 10 сол­дат в ряду, тогда в роте может быть 100 и 110 че­ло­век. Вы­пол­няя ана­ло­гич­ное рас­суж­де­ние, по­лу­ча­ем, что в роте не может быть 100 че­ло­век, но может быть 110 (как по­ка­за­но в пунк­те 1).

Пусть 11 сол­дат в ряду. В роте может быть 99 и 110 че­ло­век. Выше по­ка­за­но, что 99 че­ло­век в роте быть не может, а 110 че­ло­век может.

Пусть 12 сол­дат в ряду, тогда в роте может быть 96 и 108 че­ло­век. Для 96 че­ло­век в роте ре­ше­ний нет, для 108 че­ло­век в роте в пер­вом взво­де  — 48 че­ло­век, во вто­ром  — 60, что удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  на­при­мер, 50 и 60; б)  нет; в)  108 или 110.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, числа 10, 11, 15.

б)  В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма квад­ра­тов мень­ших сто­рон мень­ше квад­ра­та боль­шей сто­ро­ны. Пусть   — ис­ко­мые числа. По усло­вию Имеем:

По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, та­ко­го быть не может.

в)  По усло­вию Тогда

Чем боль­ше a, тем мень­ше зна­че­ние может при­ни­мать По­это­му не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее a. Пусть

Наи­мень­шее зна­че­ние равно

Ответ: а)  да, на­при­мер числа 10, 11 и 15; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, 16 крас­ных и 16 синих  — всего 480 руб­лей.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство синих ка­ран­да­шей. По­сколь­ку синие ка­ран­да­ши де­шев­ле, то для наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства ка­ран­да­шей надо ку­пить их боль­ше, чем крас­ных.

Тогда всего 2x − 5 = 33.

По­лу­чи­ли не­це­лый x. Про­ве­рим дру­гой слу­чай:

Тогда всего Таким об­ра­зом, воз­мож­но ку­пить 33 ка­ран­да­ша мак­си­мум. Сле­до­ва­тель­но, 35 ка­ран­да­шей ку­пить нель­зя.

в)  В пунк­те б) до­ка­за­но, что воз­мож­но ку­пить мак­си­мум 33 ка­ран­да­ша.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  33.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, число 17.

б)  Если два числа дают оди­на­ко­вых оста­ток при де­ле­нии на 200, то их раз­ность будет де­лить­ся на 200. Имеем:

Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на 25, от­ку­да Тогда

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет 36 чисел.

в)  По усло­вию   — целое, по­это­му m  — чет­ное, то есть Имеем:

  — целое, m  — дву­знач­ное, по­это­му

1)  Пусть k  =  25, тогда n может быть любым трех­знач­ным не­чет­ным чис­лом, ко­то­рых го­раз­до боль­ше, чем 36.

2)  Пусть но крат­но пяти. Зна­чит, (n + k) крат­но 10. В за­ви­си­мо­сти от k по­дой­дут либо все чет­ные трех­знач­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 5, либо не­чет­ные, де­ля­щи­е­ся на 5. В любом слу­чае таких чисел боль­ше 36.

3)  Пусть k не крат­но 5, k  — не­чет­ное, но сумма (n + k) крат­на 50. По­сколь­ку то (n + k) с уче­том усло­вия при­ни­ма­ет все зна­че­ния, крат­ные 50, при­чем на одно зна­че­ние  — одно зна­че­ние m. Сле­до­ва­тель­но, для каж­до­го k воз­мож­но 18n, что не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи.

4)  Пусть k не крат­но 5, k  — чет­ное, и сумма (n + k) крат­на 25. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но пунк­ту 3) при и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. При и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. В таб­ли­це пред­став­ле­ны под­хо­дя­щие k и со­от­вет­ству­ю­щие им m. Их 18.

Ответ: а)  17; б)  36; в)  18.