PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых уравнение 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
Решение. Рассмотрим функции 
и 
Исследуем 
на промежутке 
При 
все значения функции 
на промежутке неположительны, а все значения функции 
— положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке
При 
функция возрастает на промежутке 
Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке поскольку 
а 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть 
Тогда оба корня меньше 5, поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
1) Нет корней при 
2) Один корень при 
3) Два корня при и 
4) Три корня при 
Ответ: 
Решим данную задачу графически.
Построим графики функций 
и 
на промежутке График функции представляет собой часть гиперболы, график функции — график функции 
растягиваемый в a раз.
Из графика видно, что при 
решений нет. Ровно два решения возможно, когда является касательной к в некоторой точке H (cм. рис.), соответственно второе решение — пересечение и в точке H1. Поэтому:
Поскольку в точке H необходимо касание, то у квадратного уравнения 
дискриминант должен быть равен нулю. 
По условию 
не подходит. Таким образом, до 
и 
уравнение имеет либо 0, либо 3 решения.
Стоит отметить, что при 
функция будет пересекать в точке (0; 2) и, следовательно, будет 3 решения. Найдем значение a, при котором будет три пересечения на промежутке : 
Тогда при 
будет всего два решения, поскольку будет всего два пересечения.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет более двух корней.
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
(только положительную часть) и 
Отметим, что 
— это прямые, проходящие через точку (0; −1). 
будут лежать между прямыми m и n. Угловой коэффициент прямой n равен 
Для точек пересечения прямой m с ветвью гиперболы находим: 
должен быть равен нулю, откуда 
Таким образом, 
на промежутке 
имеет более двух корней.
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 4, при 
уравнение имеет два корня.
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
имеет более двух корней.
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
уравнение имеет два корня.
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
имеет более двух корней.
Левая часть уравнения — гипербола 
правая часть уравнения — 
пучок лучей, выходящих из точки (3; 0) и симметричных относительно прямой 
лежит выше точки касания, но не выше точки 
Рассмотрим случай касания:
при этом абсцисса точки касания положительна: 
Заметим, что точка 
тогда 
Чтобы была единственная точка касания, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю: 
Но 
и 
поскольку требуется, чтобы уравнение имело более двух корней.
имеет больше двух корней.
и 
и определим, при каких a графики данных функций будут иметь более двух общих точек на промежутке 
задает семейство прямых, проходящих через точку 
с угловым коэффициентом, равным 
Изобразим графики функций 
меньше, чем у прямой n или больше, чем у прямой m, то на промежутке 
откуда получаем 
Следовательно, верно равенство 
или 
Чтобы данное уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Отсюда, 
исходное уравнение будет иметь более двух корней на указанном промежутке.
имеет ровно два неотрицательных решения.
тогда исходное уравнение записывается в виде 
и 
разбивают плоскость на 4 области. Выражение 
положительно в областях 
положительно в областях 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вниз. 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вниз. 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вверх.
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вверх. 
ровно две точки пересечения с построенным графиком уравнения при 
(выделено красным).
строить график уравнения имеет смысл только в первой и четвертой координатных четвертях и исключенной точкой О(0; 0). Это наблюдение позволяет заметно сократить решение.
имеет ровно три корня?
— парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина 
— это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой 
и 
тогда уравнение примет вид 
Пусть 
При t > 0 функция 
убывает от 
до 
При t < 0 функция 
до 
Поэтому максимальное значение функции 
принимает минимальное значение при 
Причем 
и убывает на промежутке 
принимая значения от 
до 
то есть 
При 
получаем 
При 
решений нет.
тогда уравнение примет вид
левая часть уравнения принимает наименьшее значение 
правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до 
а при 
— возрастает, принимая значения от 
