Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение.
Спрятать критерииЛевая часть уравнения — гипербола, а правая — прямые, проходящие через точку (0; −2). Уравнение имеет более двух решений, когда прямые лежат между l1 и l2.
Найдем точку пересечения гиперболы и оси абсцисс: 
Заметим, что точка 
тогда 
Поскольку график отображен, то 
Чтобы была единственная точка касания, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю: 
Но 
и 
поскольку требуется, чтобы уравнение имело более двух корней.
Ответ: 
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С6
Классификатор алгебры: Левая и правая части в качестве отдельных графиков
У задачи имеется иное решение.
Выразим a через x, получим
и построим график зависимости a от x.
При 5/x ≥ -3, то есть при x ∊ (0; 5/3], получаем:
Производная:
нулей у производной нет. Ветви параболы направлены вниз, на промежутке (0; 5/3] исходная функция убывает. Кроме того, a(5/3) = 1,2 => на промежутке (0; 5/3]: a ≥ 1,2;
При 5/x < -3, то есть при x > 5/3, получаем:
Производная:
экстремум функции находим из уравнения 
откуда 
причем 
Методом интервалов определим знак производной до и после достижения экстремума, получаем, что на интервале (5/3; 2) функция возрастает, на луче (2; ∞) функция убывает.
Строим график, из которого очевидно, что он имеет с прямой a = m более двух общих точек при m ∊ (6/5; 5/4) <=> уравнение |(5/x) - 3| = ax - 2 имеет более двух корней на отрезке (0; ∞) при a ∊ (6/5; 5/4).
Ответ: a ∊ (6/5; 5/4).