РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 13608597

Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наибольшая среднесуточная температура за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На клетчатой бумаге с размером клетки $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см$ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Найдите корень уравнения $9 в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $42 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите сторону этого треугольника.

На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и шесть точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_6.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает?

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2 и 7. Найдите его площадь поверхности.

Найдите значение выражения $q левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка минус q левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка ,$ если $q левая круглая скобка b правая круглая скобка = минус 6b.$

10.  

Небольшой мячик бросают под острым углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L= дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: g конец дроби синус 2 альфа$ (м), где $v _0=20$ м/с  — начальная скорость мячика, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

11.  

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

12.  

Найдите точку минимума функции $y= дробь: числитель: 100, знаменатель: x конец дроби плюс x плюс 16.$

13.  

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 12. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC  =  1 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение. Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO  =  2 : 1, поскольку T  — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O  — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC  =  1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC  =  1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k  =  AC : TC  =  BC : CL  =  3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL  — равнобокая трапеция, поскольку AP  =  BL и AM  =  BK.

Большее основание LP трапеции равно 12, поскольку ABCD  — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 6, поскольку MK  — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна $дробь: числитель: 6 плюс 12, знаменатель: 2 конец дроби =9.$

Ответ: б) 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 9 умножить на 3 в степени x .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC  =  8, BD  =  4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

17.  

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.;

—  выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.;

—  к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение $левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4 синус x=7 минус a минус a в квадрате$ не имеет решений.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде $левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка =3 минус a минус a в квадрате$ и положим $1 плюс синус x=t,$ где $0 меньше или равно t меньше или равно 2.$ Тогда исходное уравнение принимает вид $t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t=3 минус a минус a в квадрате .$

Найдем множество значений функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t$ на отрезке [0; 2]. $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =4t в кубе минус 4=4 левая круглая скобка t в кубе минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка меньше 0$ на промежутке [0; 1) и $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка больше 0$ на промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ поэтому множество значений функции на отрезке [0; 2]  ― отрезок [f (1); f (2)], то есть отрезок $левая квадратная скобка минус 3;8 правая квадратная скобка .$ Таким образом, уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =3 минус a минус a в квадрате$ не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия $3 минус a минус a в квадрате больше 8$ или $3 минус a минус a в квадрате меньше минус 3.$

$совокупность выражений новая строка a в квадрате плюс a плюс 5 меньше 0, новая строка a в квадрате плюс a минус 6 больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка a меньше минус 3, новая строка a больше 2. конец совокупности .$

Приведем другое решение.

Положим $1 плюс синус x=t,$ где $0 меньше или равно t меньше или равно 2,$ и рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t плюс a в квадрате плюс a минус 3.$ Ее производная $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =4t в кубе минус 4=4 левая круглая скобка t в кубе минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка меньше 0$ на промежутке [0; 1) и $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка больше 0$ промежутке (1; 2]. Значит, на промежутке [0; 2) функция имеет единственный экстремум   ― минимум $f_\min =f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =a в квадрате плюс a минус 6.$ $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ поэтому уравнение $t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t плюс a в квадрате плюс a минус 3=0$ не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше 0$ или $f_\min больше 0.$ Таким образом, приходим к совокупности

Приведем идею еще одного решения.

Решение 3. Построить эскиз графика функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t$ на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположения графика этой функции и прямой $y=3 минус a минус a в квадрате .$

Ответ: $a меньше минус 3,$ $a больше 2.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обосновано получен ответ, отличающийся от верного только исключением и/или включением граничных точек. ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу.	2
С помощью верного рассуждения получены искомые промежутки значений a, неверные из-за неверной оценки введенной переменной t.	3
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 4t$ и прямой $y=3 минус a минус a в квадрате$ ИЛИ (при аналитическом решении 1) Найдено множество значений функции, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют. ИЛИ (при аналитическом решении 2) Установлен экстремум функции, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл:	4

19.  

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а)  Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б)  Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в)  За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

Решение. а)  Перельём из последней бочки в первую 31 литр воды, а из третьей во вторую  — 4 литра. Тогда в первой и последней будет по 60 литров, во второй и третьей  — по 36 литров воды. Перельём теперь из последней в третью и из первой во вторую по 12 литров воды. Получим в каждой бочке по 48 литров воды, что и требовалось.

б)  Пусть есть семь бочек, в первых шести из которых по одному литру воды, а в последней  — 8 литров воды. В каждой бочке должно оказаться в итоге по 2 литра воды. Следовательно, в каждую из первых шести бочек надо как минимум один раз наливать воду. Значит, переливаний должно быть не меньше шести.

в)  Докажем, что меньше чем 25 переливаний может не хватить. Пусть есть 26 бочек, в первых 25 из которых по одному литру воды, а в последней  — 27 литров воды. Тогда, как в пункте «б», надо выливать воду в каждую из первых 25 бочек, следовательно, переливаний должно быть не менее 25.

Докажем, что за 25 переливаний всегда можно уравнять количество воды во всех бочках. Пусть общий объём воды в бочках равняется 26x литров воды. Так как этот объём при переливаниях не меняется, то в каждой бочке в итоге должно оказаться ровно x литров воды.

Если во всех бочках ровно x литров воды, то переливаний не требуется. Иначе найдётся такая бочка, в которой больше чем x литров воды, и такая, в которой меньше чем x литров воды. Будем переливать воду из первой бочки во вторую, пока в одной из них не станет ровно x литров воды. После этого переливания количество бочек, в которых ровно x литров воды, увеличится. Тогда не более чем через 25 таких переливаний в 25 бочках будет ровно x литров воды. Значит, и в оставшейся бочке тоже будет равно x литров воды.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	323510	11
2	502009	26
3	250979	2,5
4	689089	0,06
5	2947	9,5
6	52449	126
7	505463	2
8	75335	46
9	67081	12
10	28004	15
11	112517	60
12	130061	10
13	511374	а) $x= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ,$ б) $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$
14	513366	б) 9.
15	511513	$левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .$
16	511425	6 или 2.
17	514523	1050 тыс. рублей.
18	508395	$a меньше минус 3,$ $a больше 2.$
19	514432	а)  да; б)  нет; в)  25.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. a; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ