Спи­до­метр ав­то­мо­би­ля по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Какую ско­рость (в милях в час) по­ка­зы­ва­ет спи­до­метр, если ав­то­мо­биль дви­жет­ся со ско­ро­стью 40 км в час? (Счи­тай­те, что 1 миля равна 1,6 км.)

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён круг. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по гео­гра­фии всего 40 би­ле­тов, в 12 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Реки и озера". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Реки и озера".

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 32 и 24. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 20.

Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те  где   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции 

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 27. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

При дви­же­нии ра­ке­ты еe ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, со­кра­ща­ет­ся по за­ко­ну где  м  — длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты,  км/с  — ско­рость света, а υ   — ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ми­ни­маль­ная ско­рость ра­ке­ты, чтобы еe на­блю­да­е­мая длина стала не более 21 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 255 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 2 часа, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 34 часа после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

От­ре­зок KM ― диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ре­зок AK ― об­ра­зу­ю­щая этого ко­ну­са, ко­то­рая в 3 раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния. Хорда ос­но­ва­ния ML со­став­ля­ет с пря­мой KM угол 45°. Через AK про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной пря­мой ML.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKN, где KN - хорда ос­но­ва­ния, па­рал­лель­ная ML, яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са O до плос­ко­сти се­че­ния, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром угол A тупой.

а)  До­ка­жи­те, что от­лич­ная от A₁ точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка B₁AC₁.

б)  Из­вест­но, что AB  =  AC  =  13 и BC  =  24. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.

Пла­ни­ру­ет­ся вы­дать льгот­ный кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на пять лет. В се­ре­ди­не каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг заёмщика воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с на­ча­лом года. В конце 1-⁠го, 2-⁠го и 3-⁠го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, остав­ляя долг не­из­мен­но рав­ным пер­во­на­чаль­но­му. В конце 4-⁠го и 5-⁠го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая весь долг пол­но­стью. Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат заёмщика пре­вы­сит 10 млн.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство