СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514515

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, в котором угол A тупой.

а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежат на окружности, описанной около треугольника B1AC1.

б) Известно, что AB = AC = 13 и BC = 24. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.

Решение.

а) Пусть O — отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1 (рис. 1).

Тогда

откуда

Значит, следовательно, точки A, B1, O и C1 лежат на одной окружности.

б) Пусть O1, O2 и O3 — центры окружностей, описанных около треугольников B1AC1, A1BC1 и A1CB1 соответственно (рис. 2). Заметим, что как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO1C1 и C1O2B равны. Кроме того, треугольник O2C1O1 также равен этим треугольникам, поскольку

Таким образом, Аналогично, поэтому треугольник O1O2O3 подобен треугольнику ABC с коэффициентом и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC равна

C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна поэтому площадь треугольника ABC равна 60. Значит, r = 2,4. Искомый радиус равен

 

Ответ: 1,2.


Аналоги к заданию № 514508: 514515 Все

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 202. Юг
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники