Ре­ше­ние. На 181 че­ло­ве­ка на 1 день по­ла­га­ет­ся 181 · 40  =  7240 г са­ха­ра, на 5 дней  — 7240 · 5  =  36 200 г. Раз­де­лим 36 200 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

Ответ: 37.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая и наи­мень­шая цены за ука­зан­ный пе­ри­од со­ста­ви­ли 172 рубля и 144 рубля со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Их раз­ность рав­ня­ет­ся 28 руб­лям.

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Имеем: Ко­ор­ди­на­ты раз­но­сти век­то­ров равны раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат, по­это­му Длина век­то­ра По­это­му квад­рат длины век­то­ра равен

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. В пер­вом туре Иван Котов может сыг­рать с 76 − 1  =  75 шах­ма­ти­ста­ми, из ко­то­рых 19 − 1  =  18 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Иван Котов будет иг­рать с каким-либо шах­ма­ти­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,24.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Мень­ший ко­рень равен −4.

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. Боль­шая вы­со­та про­ве­де­на к мень­шей сто­ро­не. Имеем:

Ответ: 18.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Дмит­рия Д.

За­ме­тим, что точка H лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB па­рал­ле­ло­грам­ма. В самом деле, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH имеем:

За­ме­тим, что рас­по­ло­же­ние точки H на ри­сун­ке не вли­я­ет на пра­виль­ность ре­ше­ния, за­да­чу можно ре­шить вовсе без ри­сун­ка.

При­ведём ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы найти вы­со­ту, вос­поль­зу­ем­ся дру­гой фор­му­лой для на­хож­де­ния пло­ща­ди: от­ку­да

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния :

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра, по­это­му, по­это­му ребро равно

Тогда объем куба 

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства : при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

Камни будут пе­ре­ле­тать кре­пост­ную стену на вы­со­те не менее 1 метра, если кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на будет на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 20 до 110 мет­ров от этой стены. Наи­боль­шее рас­сто­я­ние − 110 мет­ров.

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Пусть весь путь теп­ло­хо­да равен 2S км. Время в пути со­став­ля­ет 31 час, из ко­то­рых 4 часа − сто­ян­ка:

Тем самым, весь путь теп­ло­хо­да со­став­ля­ет 2 · 240  =  480 км.

Ответ: 480.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде

Зна­чит, или от­ку­да или от­ку­да или

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель, ко­неч­но, узнал фор­му­лу си­ну­са трой­но­го угла:

Ре­ше­ние. а)  Спро­еци­ру­ем вер­ши­ну S на плос­кость ABC. По­лу­чит­ся точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, а тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AS и BC со­от­вет­ствен­но. AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый.

где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть t = 3^x, тогда:

Тогда либо от­ку­да либо от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Обе точки K и L не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок KL не может ка­сать­ся внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ке.

Пусть обе точки K и L лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка (рис. 1).

Четырёхуголь­ник AKLC  — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку LBK, так как угол ABC  — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен k, тогда

Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка AKLC равны:

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но,

Пусть точка K лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны (рис. 2) Углы AKL и ACL равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку LBK, так как угол ABC  — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть тре­уголь­ни­ки LBK и ABC равны, по­это­му За­ме­тим, что и точка K дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны

Если точка L лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC, то но ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю по­лу­ча­ем Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ:

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в сутки может быть за­тра­че­но 200 че­ло­ве­ко-⁠часов труда. При этом в пер­вой об­ла­сти будет до­бы­то 0,2 · 200  =  40 кг ме­тал­лов. Пусть в ней будет до­бы­то y кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то (40 − y) кг. Пусть во вто­рой об­ла­сти будет до­бы­то x кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то кг.

Для про­из­вод­ства спла­ва за­во­ду не­об­хо­ди­мо по­лу­чить рав­ное ко­ли­че­ство алю­ми­ния и ни­ке­ля, по­это­му долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

При этом масса спла­ва будет равна сумме масс всех ме­тал­лов:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Ука­жем знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма при Из ра­вен­ства (*) для на­хо­дим Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(x) равно

Таким об­ра­зом, завод смо­жет про­из­во­дить 60 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сме­шан­ной си­сте­ме

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда се­мей­ство пря­мых имеет с гра­фи­ком си­сте­мы

ровно две общие точки, то есть при

Ответ:

Ре­ше­ние. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что числа со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Пусть a  — пер­вый член этой про­грес­сии, d её раз­ность. Тогда сумма её чле­нов

а)  Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, и их сумма равна 10.

б)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии верно не­ра­вен­ство

Зна­чит, от­ку­да на­хо­дим Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние n равно 44.

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 258. Если то сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из 3 и 6 чле­нов с сум­мой 129 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а)  да; б)  44; в)  3, 6.