На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те b.

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­ра­ми воз­ду­ха 9 ав­гу­ста. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ос­но­ва­ние тра­пе­ции равно 3, вы­со­та равна 18, а пло­щадь равна 180. Най­ди­те вто­рое ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов  — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Ре­ши­те урав­не­ние

Через концы А и В дуги окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны ка­са­тель­ные АС и ВС. Угол СAB равен 32°. Най­ди­те угол AОB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик    — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тре­уголь­ной приз­мы равна 38. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна где m  — масса воды в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, L  — длина верeвки в мет­рах, g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те  м/с²). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 62,5 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 15-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да DABC с вер­ши­ной D. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна вы­со­та равна

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра BD и точки М и Т (се­ре­ди­ны ребер АС и AВ со­от­вет­ствен­но), яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра BD до пря­мой МТ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC  =  6, AF  =  3, угол BAC равен 45°.

В одной стра­не в об­ра­ще­нии на­хо­ди­лось 1 000 000 дол­ла­ров, 20% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. Некая кри­ми­наль­ная струк­ту­ра стала вво­зить в стра­ну по 100 000 дол­ла­ров в месяц, 10% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. В это же время дру­гая струк­ту­ра стала вы­во­зить из стра­ны 50 000 дол­ла­ров еже­ме­сяч­но, из ко­то­рых 30% ока­за­лись фаль­ши­вы­ми. Через сколь­ко ме­ся­цев со­дер­жа­ние фаль­ши­вых дол­ла­ров в стра­не со­ста­вит 5% от об­ще­го ко­ли­че­ства дол­ла­ров?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

а)  Чему равно число спо­со­бов за­пи­сать число 1292 в виде где числа   — целые,

б)  Су­ще­ству­ют ли 10 раз­лич­ных чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа   — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа   — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?