Ре­ше­ние. Раз­де­лим 46 на 10:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км/час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна 1 тонне силы.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга см².

Пло­щадь фи­гу­ры равна пяти вось­мым пло­ща­ди этого круга. По­это­му

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. В пер­вом туре Ва­ле­рий Стре­мян­кин может сыг­рать с ша­ши­ста­ми, из ко­то­рых из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ва­ле­рий Стре­мян­кин будет иг­рать с каким-либо ша­ши­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Зна­че­нию со­от­вет­ству­ет Не­от­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра k со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния кор­ней, зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число −0,75.

Ответ: −0,75.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0,8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и

Имеем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­чис­ле­ния можно было бы упро­стить, вы­де­лив пол­ный куб:

что поз­во­ля­ет сразу же найти

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Можно было бы найти раз­ность пер­во­об­раз­ных, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

По­лу­чим явное вы­ра­же­ние для По­сколь­ку

имеем:

При­ме­ча­ние.

Этот под­ход можно не­сколь­ко усо­вер­шен­ство­вать. За­ме­тим, что гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOC. Он пря­мо­уголь­ный, так как SO  — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

Ответ: 0,3.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем дан­ную в усло­вии фор­му­лу:

Под­ста­вим зна­че­ния и вы­чис­лим:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим объем бака за 1. Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма ра­бо­ты к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. Тогда три на­со­са, ра­бо­тая вме­сте, за­пол­нят бак за

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­боль­шее зна­че­ния в точке в нашем слу­чае  — в точке 11. Функ­ция в этой точке при­ни­ма­ет зна­че­ние По­сколь­ку ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим 1, воз­рас­та­ет, най­ден­ное зна­че­ние яв­ля­ет­ся ис­ко­мым наи­боль­шим зна­че­ни­ем за­дан­ной функ­ции.

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке по­лу­чим число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую Так как то а, зна­чит, от­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка В то же время   — катет этого тре­уголь­ни­ка. По­это­му

б)  От­ре­зок D₁E  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что и Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ар­гу­мен­та ло­га­риф­ма по­ло­жи­тель­ны, по­это­му, учи­ты­вая ра­вен­ство имеем:

Пер­вый слу­чай:

Вто­рой слу­чай:

Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний дан­но­го урав­не­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть АВ  — диа­метр боль­шей из трёх окруж­но­стей, О  — её центр, O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са r у ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке А, O₂  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са R, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке С, окруж­но­сти с цен­тром O₁  — в точке D, от­рез­ка АВ  — в точке Е. Точки О, O₂ и С лежат на одной пря­мой, по­это­му OO₂  =  ОС − O₂С  =  ОС − R. Ана­ло­гич­но ОО₁  =  OA − О₁А  =  ОА − r и O₁O₂  =  O₁D + O2D  =  r + R. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка OO₁O₂ равен

б)  Пусть OA  =  6, r  =  2. Тогда по­лу­ча­ем: O₂Е  =  R, O₁O₂  =  2 + R, OO₁  =  OA − О₁А  =  6 − 2  =  4, OO₂  =  ОС − O₂С  =  6 − R. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков O₁O₂Е и OO₂Е на­хо­дим, что

а так как О₁E  =  OO₁ + ОЕ, то Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что R = 3 (это зна­чит, что диа­метр ис­ко­мой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су наи­боль­шей из трёх окруж­но­стей, то есть точка Е сов­па­да­ет с О).

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%, т. е. умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,1. Через три года сумма на вкла­де «А» ста­нет равна 1,1³S  =  1,331S. На вкла­де «Б» сумма через три года будет равна

где n  — на­ту­раль­ное число.

Тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее целое ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, тогда

Далее, по гра­фи­ку, тогда

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. Пусть Тогда Тогда

По­ло­жим Зна­чит, числа   — одной чётно­сти, а так как по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

При этих усло­ви­ях не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние Так как на­хо­дим, что от­ку­да

Далее пе­ре­би­ра­ем слу­чаи:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние b равно при этом

Ответ: 1369.