Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
б) Пусть OA = 6, r = 2. Тогда получаем: O2Е = R, O1O2 = 2 + R, OO1 = OA − О1А = 6 − 2 = 4, OO2 = ОС − O2С = 6 − R. Из прямоугольных треугольников O1O2Е и OO2Е находим, что
а так как О1E = OO1 + ОЕ, то 
Из этого уравнения находим, что R = 3 (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то есть точка Е совпадает с О).
Ответ: 3.
пункт б) можно решить проще через доказанное в пункте а) равенство
К сожалению, напрямую этим равенством воспользоваться нельзя, так как ключевым моментом решения является совпадение точек O и E.
Из чего следует, что точки O2, С, О лежат на одной прямой?
Из того, что O2C и OС являются радиуcами касающихся окружностей проведенными в точку касания C.