Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 507211

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Решение.

а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

OO_1 плюс OO_2 плюс O_1O_2 = OA минус r плюс OC минус R плюс r плюс R = OA плюс OC = 2OA = AB.

 

б) Пусть OA = 6, r = 2. Тогда получаем: O2Е = R, O1O2 = 2 + R, OO1 = OA − О1А = 6 − 2 = 4, OO2 = ОС − O2С = 6 − R. Из прямоугольных треугольников O1O2Е и OO2Е находим, что

O_1E = корень из { O_1O в степени 2 _2 минус O_2Е в степени 2 } = корень из { (2 плюс R) в степени 2 минус R в степени 2 } = корень из { 4 плюс 4R},

OE= корень из { OO в степени 2 _2 минус O_2E в степени 2 } = корень из { (6 минус R) в степени 2 минус R в степени 2 } = корень из { 36 минус 12R},

а так как О1E = OO1 + ОЕ, то  корень из { 4 плюс 4R} = 4 плюс корень из { 36 минус 12R}. Из этого уравнения находим, что R = 3 (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то есть точка Е совпадает с О).

 

Ответ: 3.


Аналоги к заданию № 507237: 507211 515670 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Анна Бачкала 22.04.2016 17:12

пункт б) можно решить проще через доказанное в пункте а) равенство P_{OO_1O_2}=AB.

Константин Лавров

К сожалению, напрямую этим равенством воспользоваться нельзя, так как ключевым моментом решения является совпадение точек O и E.

Миша сенчуков 19.05.2016 22:57

Из чего следует, что точки O2, С, О лежат на одной прямой?

Константин Лавров

Из того, что O2C и являются радиуcами касающихся окружностей проведенными в точку касания C.