Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 507744

Натуральные числа a,b,c образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение b.

Решение.

Пусть  корень из { a}=a', корень из { b}=b', корень из { c}=c';a' меньше b' меньше c'. Тогда a' больше или равно 23;b'=a' плюс t,t принадлежит N . Тогда

2a' в степени 2 плюс 4a't плюс 2t в степени 2 =a' в степени 2 плюс c' в степени 2 равносильно (a' плюс 2t плюс c')(a' плюс 2t минус c')=2t в степени 2 .

Положим p=a' плюс 2t плюс c';q=a' плюс 2t минус c';p минус q=2c'. Значит, числа p,q — одной чётности, а так как pq=2t в степени 2 , получаем:

p=2n,q=2m(n,m принадлежит N ) \Rightarrow t=2\nu (\nu принадлежит Z ).

Значит,

 система выражений  новая строка a' плюс 2t=(p плюс q)/2=n плюс m, новая строка c'=(p минус q)/2=n минус m, новая строка nm=2\nu в степени 2 конец системы равносильно система выражений  новая строка a'=n плюс m минус 4\nu больше или равно 23, новая строка c'=n минус m больше или равно 25, новая строка nm=2\nu в степени 2 . конец системы

При этих условиях необходимо найти наименьшее значение b'=n плюс m минус 2\nu. Так как n больше или равно 26,m больше или равно 1, находим, что 2\nu в степени 2 =nm больше или равно 26, откуда \nu\ge4.

Далее перебираем случаи:

1) \nu=4 \Rightarrow система выражений  новая строка nm=32,n плюс m больше или равно 39, новая строка n минус m больше или равно 25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы решенийнет;

2) \nu=5 \Rightarrow система выражений  новая строка nm=50,n плюс m больше или равно 43, новая строка n минус m\ge25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow n=50,m=1,b'=41;

3) \nu=6 \Rightarrow система выражений  новая строка nm=72,n плюс m больше или равно 47, новая строка n минус m\ge25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow n=72,m=1,b'=61;

4) \nu=7 \Rightarrow система выражений  новая строка nm=98,n плюс m больше или равно 51, новая строка n минус m\ge25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow b'=37илиb'=85;

5) \nu больше или равно 8 \Rightarrow b' больше или равно 23 плюс 2\nu больше или равно 23 плюс 16=39.

 

Значит, наименьшее значение b равно 37 в степени 2 =1369, при этом a=23 в степени 2 ,c=47 в степени 2 .

 

Ответ: 1369.