математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Каталог заданий.
Многоугольники и их свойства
Сортировка:
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 16 № 505501

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Основная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

2
Задание 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.


Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все


3
Задание 16 № 507510

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.


4
Задание 16 № 507586

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.


5
Задание 16 № 508974

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

Решение · ·

6
Задание 16 № 513277

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?


Аналоги к заданию № 513277: 514717 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

7
Задание 16 № 513281

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.


Аналоги к заданию № 513281: 514716 515708 515784 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

8
Задание 16 № 504546

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH . Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.


Аналоги к заданию № 504546: 504567 511390 Все

Источник:

9
Задание 16 № 505155

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.


Аналоги к заданию № 505155: 505176 511398 Все

Источник:

10
Задание 16 № 505239

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E —  на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.


Аналоги к заданию № 505239: 505249 511400 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.

11
Задание 16 № 505389

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если ,


Аналоги к заданию № 505389: 505410 511403 Все

Источник:
Решение · ·

12
Задание 16 № 505419

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Найдите BC, если и ∠BAC = 60°.


Аналоги к заданию № 505419: 505425 505452 511406 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.

13
Задание 16 № 505473

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.


Аналоги к заданию № 505473: 505495 509182 511409 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

14
Задание 16 № 505537

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.


Аналоги к заданию № 505537: 509003 511579 508974 Все


15
Задание 16 № 504418

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.


Аналоги к заданию № 504418: 511388 Все

Источник:

16
Задание 16 № 504439

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.


Аналоги к заданию № 504439: 511389 Все

Источник:

17
Задание 16 № 505536

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.


Аналоги к заданию № 505536: 511440 507510 507586 515828 Все


18
Задание 16 № 513922

Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если


Аналоги к заданию № 513922: 513915 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

19
Задание 16 № 514124

Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC? из которых AD большее, на два подобных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.

б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014

20
Задание 16 № 514375

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.


Аналоги к заданию № 514375: 519903 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

21
Задание 16 № 514449

В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

 

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.


Аналоги к заданию № 514449: 514529 514536 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад

22
Задание 16 № 514482

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

23
Задание 16 № 514536

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH и AC, если


24
Задание 16 № 514562

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найти отношение BH к ED, если

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

25
Задание 16 № 514605

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.


Аналоги к заданию № 514605: 514612 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 601 (C часть).

26
Задание 16 № 514633

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.

б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.


Аналоги к заданию № 514633: 514619 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 608 (C часть).

27
Задание 16 № 514717

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?


28
Задание 16 № 514730

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

29
Задание 16 № 515689

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C)., Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, C4.

30
Задание 16 № 515727

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CMDK.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.


Аналоги к заданию № 515727: 515803 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C)., Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, C4.

31
Задание 16 № 515784

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если и


32
Задание 16 № 515828

Медианы AA1, BB1, и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.


33
Задание 16 № 516277

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.


Аналоги к заданию № 516277: 516258 Все


34
Задание 16 № 517183

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.


Аналоги к заданию № 517183: 517221 Все


35
Задание 16 № 517202

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 


Аналоги к заданию № 517202: 517240 Все


36
Задание 16 № 517448

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = KO.

б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет площади трапеции ABCD.


Аналоги к заданию № 517448: 517441 517455 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).

37
Задание 16 № 517502

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.

а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.

б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).

38
Задание 16 № 517522

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.

а) Доказать, что MA = MD.

б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017
Решение · ·

39
Задание 16 № 517524

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.

а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.

б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC =

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

40
Задание 16 № 517526

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.


Аналоги к заданию № 517526: 517528 517535 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

41
Задание 16 № 517529

Дана трапеция ABCD, так, что и точка M внутри трапеции,

а) Докажите, что АM = DM.

б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50 градусов, а высота, проведённая из точки M к АD равна BC.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

42
Задание 16 № 517832

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.


Аналоги к заданию № 517832: 518146 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

43
Задание 16 № 519475

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018, Досрочный ЕГЭ — 2018. 31.03.2018 (C часть).

44
Задание 16 № 520824

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.

а) Докажите, что АВ = CD.

б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервный день 25.06.2018)

45
Задание 16 № 520997

Точка Е — середина стороны квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.

а) Докажите, что .

б) Найдите .

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 25.06.2018. Вариант 992 (C часть).

Пройти тестирование по этим заданиям