Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 504567

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

Спрятать решение

Решение.

а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, равного треугольнику CHE, подобного треугольнику ABC.

Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α, то

\angle BEK=\angle BEH плюс \angle HEK=90 градусов плюс альфа , а \angle KAB=90 градусов минус альфа .

 

Значит,

\angle BEK плюс \angle KAB =90 градусов плюс альфа плюс 90 градусов минус альфа =180 градусов.

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

 

б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:

R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle BEA конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle AEC конец дроби .

Из подобия треугольников CEH и ABC находим

 дробь: числитель: CE, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби , откуда CE= дробь: числитель: CH умножить на AC, знаменатель: AB конец дроби .

Тогда

AE= корень из (CE в степени 2 плюс AC в степени 2 ) =AC умножить на корень из ( дробь: числитель: CH в степени 2 плюс AB в степени 2 , знаменатель: AB в степени 2 конец дроби ) = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби корень из (CH в степени 2 плюс AB в степени 2 ) .

Поэтому

 синус \angle AEC= дробь: числитель: AC, знаменатель: AE конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из (CH в степени 2 плюс AB в степени 2 конец дроби ) .

Следовательно, искомый радиус

R= дробь: числитель: AB, знаменатель: \dfrac2AB конец дроби корень из (CH в степени 2 плюс AB в степени 2 ) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из (CH в степени 2 плюс AB в степени 2 ) = дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Приведем решение п. б) присланное пользователем сайта.

Продолжим отрезок КН за точку Н и точку его пересечения окружностью назовем Р. Очевидно, KP || BC, следовательно, \angle PHB=\angle HBC=\angle ABC. Заметим, что \angle KPB=\angle KAB=\angle CAB, как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, \angle PBH=180 градусов минус \angle PHB минус \angle HPB=180 градусов минус \angle ABC минус \angle CAB=90 градусов, то есть \angle ABP — прямой. Таким образом, BP || CH и CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 7, а AP диаметр окружности. Найдем его из прямоугольного треугольника ABP:

AP= корень из (AB в степени 2 плюс BP в степени 2 ) = корень из (24 в степени 2 плюс 7 в степени 2 ) =25.

Следовательно, искомый радиус R= дробь: числитель: AP, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби .

 

 

 

Ответ:  дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 504546: 504567 Все

Методы геометрии: Теорема синусов