Перенесем единицу:

Построим схематично графики функций и

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или

1)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

2)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

Ответ:

Приведем другое решение (автор Александр Соколов).

Изобразим решение неравенства в системе координат .

Прямые и разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений и остаются постоянными.

знак выражения
знак выражения
соответствующее неравенство

Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.

Очевидно , что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.

1 случай: отрезок ограничен прямыми (слева) и (справа).

Найдём соответствующее значение параметра .

, откуда и

 

2 случай: отрезок ограничен прямыми (слева) и (справа).

Найдём соответствующее значение параметра .

, откуда и

 

Ответ:

Перенесем двойку:

Построим схематично графики функций и

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или

1)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

2)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

Ответ:

Перепишем неравенство в виде

Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при Заметим, что при решением кроме отрезка становится еще и точка что противоречит условию.

При дальнейшем увеличении a в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке x = 3. Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

Итак, полуинтервал не удовлетворяет условию задачи.

Замечание. Точка касания может быть найдена из соображений о том, что график функции (полупарабола) и прямая (правый луч графика функции ) имеют одну общую точку. Исследуем уравнение при

Последнее уравнение будет иметь единственное решение в случае D = 0.

откуда

Ответ:

Пусть тогда то есть Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде

Полученное неравенство имеет вид для Поскольку для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда откуда

Возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство то есть которое должно быть выполнено для всех х из отрезка Старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:

Ответ:

Приведем другое решение.

Введя замену получим неравенство Запишем это неравенство в виде Этим задача сведена к неравенству для возрастающей функции Тем самым откуда

Теперь заметим, что старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, а Тогда если то на всем отрезке Таким образом, откуда

Укажем иной путь.

Пусть тогда Преобразуем правую часть:

получаем

Если то Все такие числа t являются решениями, так как правая часть не меньше −2.

Если то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно.

Если то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно.

Если то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.

Если то в силу неравенства справедливого для положительных α получаем:

а значит, правая часть меньше левой, и неравенство не имеет решений.

Если то В этом случае решений нет, так как правая часть не больше 2.

Тем самым искомыми являются значения Следовательно, и далее как ранее.

Перепишем неравенство в виде и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше графика левой при Заметим, что при решением кроме отрезка становится еще и точка что противоречит условию.

При дальнейшем уменьшении в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

Итак, интервал не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: