За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

и на­ри­су­ем эс­ки­зы гра­фи­ков левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся часть па­ра­бо­лы, она вы­де­ле­на на ри­сун­ке цве­том оке­ан­ской воды. Гра­фик функ­ции при раз­лич­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на |а| еди­ниц влево или впра­во.

Из ри­сун­ка видно, что при гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства лежит ниже гра­фи­ка левой части, а зна­чит, не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний. При гра­фи­ки имеют един­ствен­ную общую точку (изоб­ра­же­но пур­пур­ным) и не­ра­вен­ство имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. При ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся от­ре­зок. При кроме от­рез­ка ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся еще и точка (изоб­ра­же­но ку­ма­чо­вым), что не под­хо­дит по усло­вию. При где   — зна­че­ние па­ра­мет­ра, со­от­вет­ству­ю­щее ка­са­нию пра­вой ветви гра­фи­ка мо­ду­ля с гра­фи­ком корня, ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся два от­рез­ка (пра­вый конец пра­во­го от­рез­ка на­хо­дит­ся в точке x  =  3). При (вы­де­ле­но дре­вес­ным цве­том) ре­ше­ние снова пре­вра­тит­ся в один от­ре­зок. При ре­ше­ние оста­ет­ся от­рез­ком, пока, при ре­ше­ни­ем не ста­нет точка (изоб­ра­же­но цве­том травы). При для любых зна­че­ний пе­ре­мен­ной из об­ла­сти опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства гра­фик мо­ду­ля лежит ниже гра­фи­ка корня, и не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний.

Най­дем : зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, или

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Точка ка­са­ния может быть най­де­на и без про­из­вод­ной. Дей­стви­тель­но, па­ра­бо­ла имеет с ка­са­тель­ной к ней един­ствен­ную общую точку, по­это­му по­лу­па­ра­бо­ла, яв­ля­ю­ща­я­ся гра­фи­ком функ­ции и пря­мая яв­ля­ю­ща­я­ся пра­вым лучом гра­фи­ка функ­ции имеют ровно одну общую точку. Абс­цис­са x₀ этой точки опре­де­ля­ет­ся из урав­не­ния:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если его дис­кри­ми­нант

равен нулю, от­ку­да Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет урав­не­ние то есть от­ку­да опре­де­ля­ем абс­цис­су точки ка­са­ния При воз­ве­де­нии в квад­рат урав­не­ния могли по­явить­ся по­сто­рон­ние корни, по­это­му не­об­хо­ди­ма про­вер­ка. Под­став­ляя най­ден­ные зна­че­ния и x₀, на­хо­дим:

По­лу­чен­ное чис­ло­вое ра­вен­ство верно, по­это­му при най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра дей­стви­тель­но про­ис­хо­дит ка­са­ние.

При­ве­дем идею дру­го­го ре­ше­ния.

По­ло­жим, тогда за­да­ча сво­дит­ся к ис­сле­до­ва­нию не­ра­вен­ства

при Для ре­ше­ния по­лу­чен­ной си­сте­мы можно при­ме­нить метод об­ла­стей.

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде И на­ри­су­ем эс­ки­зы гра­фи­ков левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства.

Из ри­сун­ка видно, что гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства лежит выше левой при За­ме­тим, что при a = 1, ре­ше­ни­ем кроме от­рез­ка ста­но­вит­ся еще и точка x = 5, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

При даль­ней­шем уве­ли­че­нии a в ре­ше­ние будет по­па­дать еще один от­ре­зок с пра­вым кон­цом в точке x = 5. Левый конец будет сдви­гать­ся вплоть до слу­чая ка­са­ния при ко­то­ром ре­ше­ние снова пре­вра­тит­ся в один от­ре­зок.

Рас­смот­рим слу­чай ка­са­ния:

Итак, ин­тер­вал не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ:

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде и на­ри­су­ем эс­ки­зы гра­фи­ков левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства.

Из ри­сун­ка видно, что гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства лежит выше гра­фи­ка левой при За­ме­тим, что при ре­ше­ни­ем кроме от­рез­ка ста­но­вит­ся еще и точка что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

При даль­ней­шем умень­ше­нии a в ре­ше­ние будет по­па­дать еще один от­ре­зок с пра­вым кон­цом в точке Левый конец будет сдви­гать­ся вплоть до слу­чая ка­са­ния при ко­то­ром ре­ше­ние снова пре­вра­тит­ся в один от­ре­зок.

Рас­смот­рим слу­чай ка­са­ния:

Итак, ин­тер­вал не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: