Найдем ограничения на Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения и обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: и должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство

Оценим Очевидно, что т. е. для любого

Следовательно, при любом значении Отсюда вывод: выражение также обязано быть отрицательным. Последнее условие будет выполнено, если имеет место неравенство Решим его:

Теперь найдем знак выражения Выше было выявлено, что Это значит, что

Ясно, что Следовательно,

Когда нам известен знак каждого из выражений и мы вправе переписать заданное неравенство так:

Оно равносильно цепочке следующих неравенств:

Последнее неравенство верно при всех значениях переменной так как

Итак, заданное неравенство верно при всех допустимых значениях т. е при

Ответ:

Найдем ограничения на

Докажем, что при любом значении

Если то

При функция — возрастающая как произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения. На этом промежутке непрерывная функция примет наименьшее значение в точке 0, наибольшее значение — в точке Покажем, что упомянутое наибольшее значение функции будет меньше 4. Действительно,

(очевидное неравенство).

Таким образом,

Замечание: в целях устранения громоздких записей решение неравенства можно вести и так:

Решим две системы:

1)

2)

Объединив два полученных результата, будем иметь:

Ответ:

Последовательно получаем:

Заметим, что при всех значениях x, поскольку Следовательно,

Итак, искомые значения x:

Ответ:

Найдем ограничения на x. Прежде заметим, что основание логарифма положительно при любом так как

Покажем, что

(неравенство очевидное).

Итак, разрешенными значениями x являются числа из промежутка Для таких x:

Полученное неравенство с учетом ограничений на х решим методом интервалов.

Интервалы
Знак левой части неравенства с учетом ограничений	+	−	+

Итак, решения исходного неравенства:

Ответ:

Заметим, что при любом поскольку

Аналогично так как

Перепишем заданное уравнение так:

Введем новую переменную: пусть Тогда:

Так как то

Далее будем иметь:

Решениями неравенства являются элементы множества

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Не трудно доказать, что

Действительно,

Итак,

Решим заданное неравенство на множестве методом рационализации.

 

 

 

Найдем корни числителя последнего неравенства.

Так как искомые значения переменной меньше то для всех Следовательно на M:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	−	+	−	+

Искомыми значениями переменной x будут элементы множества

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Интервалы
Знак выражения	−	+	−	+

С учетом ограничений на x получим:

Несколько иной подход к решению этого же неравенства:

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Для таких x:

Введем новую переменную. Пусть

Тогда:

При

Корень последнего уравнения, равный не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что 

Действительно, (неравенство очевидное).

При

Таким образом, решения исходного неравенства — элементы множества

Ответ:

При будем иметь:

Пусть

Тогда:

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	−	+	−	+

Итак,

Таким образом, искомыми значениями переменной с учетом ограничения на x ,что указано выше являются элементы множества

Ответ:

Найдем корни знаменателя левой части неравенства.

Преобразуем неравенство так:

Далее найдем ограничения на х и перейдем к дробно-рациональному неравенству используя метод рационализации.

Заметим, что

Действительно, (неравенство очевидное).

(неравенство доказано выше).

Искомыми значениями переменной будут элементы множества

Ответ:

а) Пусть

Тогда:

Но на рассматриваемом промежутке имеем:

Пусть

В таком случае:

Итак, при имеем:

Ответ:

Преобразуем правую часть неравенства.

Пусть

Тогда:

Перейдем к переменной x.

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Перейдем к логарифмам по основанию 3. При найденных ограничениях на x:

На

Следовательно,

С частичным использованием метода рационализации

На множестве

Но с учетом ограничений на х будем иметь:

Ответ:

Найдем ограничения на x:

Заданное неравенство будем рассматривать на множестве

С учетом ограничений на х получим: или

Ответ:

а) Решим неравенство методом рационализации.

Ограничения на x очевидны: Для таких х:

Но на следовательно, на

Отсюда вывод: искомыми значениями переменной х являются элементы множества

Ответ:

Найдем ограничения на x.

В дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве

Способ 1.

Заметим, что на M следовательно, а это значит, что на M правая часть неравенства неотрицательна при всех значениях

Рассмотрим 2 случая:

Если т. е. то заданное неравенство будет выполнено при всех Это — часть искомого решения.

Если же т. е. то имеет место система неравенств:

Фактически мы получили другую часть решения. Объединив их, будем иметь решения исходного неравенства:

Способ 2.

На M:

при или при (но есть одно из решений исходного неравенства.

Коли оно уже найдено, то для нахождения других решений обе части неравенства разделим на и решим неравенство Решение будем вести на M методом рационализации.

Заметим, что на M следовательно,

С учетом множества M:

Ответ:

Ограничения на x: При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства так как

В дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве

На M:

Пусть

Тогда:

Рассмотрим два случая:

1) Если то

2) Если же то

Итак, ответ к задаче:

Ответ:

Найдем некоторые ограничения на x.

Для полученных x:

Разложим числитель на множители.

Решим полученное неравенство методом интервалов.

Интервалы
Знак выражения	−	+	−	+

С учетом ограничений на x получим решения исходного неравенства

Ответ:

В логарифмах перейдем к основанию 2.

Пусть тогда

Решим это неравенство методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	+	−	+	−	+

Итак,

Перейдем к переменной x.

Ответ:

Пусть

Тогда:

Поскольку мы имеем возможность к решению последнего неравенства привлечь метод интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	−	+	−	+

При т. е. при будем иметь:

При

Ответ:

Найдем некоторые ограничения на x.

Для таких x:

Найдем корни квадратного трехчлена

Далее:

С учетом ограничений на x имеем:

Ответ:

Найдем некоторые ограничения на x. Заметим, что при любом

Кроме того, должны выполняться условия:

В логарифме правой части неравенства перейдем к основанию 3.

Однако, выражение строго положительно при любом значении x, отличном от 2. (Значение в данном неравенстве из рассмотрения исключается, см. ограничение (2)). Действительно,

(неравенство очевидное).

В таком случае мы вправе разделить обе части неравенства (*) на

Получим: Так как (ограничение (3)), то справедлива система неравенств:

Для решения последней системы сделаем замену переменной. Пусть тогда:

Перейдем к переменной x.

Теперь докажем, что (в соответствии с (2) и (3)).

(неравенство очевидное).

Решения исходного неравенства — множество

Ответ:

Заметим, что В таком случае ограничения x:

Для таких x:

Пусть

Тогда:

Неравенство примет вид:

Поскольку

С учетом ограничений на x будем иметь:

Для полноты исследований:

заметим, что (неравенство очевидное).

(неравенство также очевидное).

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Для таких x:

Пусть тогда

Решим вспомогательные уравнения. Первое:

Корень следовательно, посторонний. Второе:

Корень т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно методом интервалов.

Интервалы
Знак выражения	+	−	+

Итак,

Докажем, что

Доказано. С учетом ограничений на x получим искомое решение

Ответ:

Перепишем заданное неравенство так:

Далее:

Левая часть первого неравенства полученной системы при всех не меньше 1, а правая же часть — не больше 1. Следовательно, неравенство выполнимо при равенстве обеих частей, т. е. лишь при

Ответ: 3.

Найдем ограничения на х.

Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, мы вправе возвести их в квадрат. Получим:

Если то

С учетом условия получим часть решений заданного неравенства:

Если то

Докажем, что Действительно, (неравенство очевидное).

Таким образом, другой частью решений исходного неравенства является множество

Ответ:

Перейдем к системе неравенств — следствию, далее — к равносильным системам.

Осталось проверить, что при

Действительно, при При этом следовательно,

Ответ:

Найдем ограничения на x. Очевидно, неравенство имеет смысл при всех x, удовлетворяющих условию так как при этих значениях также выполняются условия: Для таких x:

С учетом ограничений на x получим:

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Для таких значений x будем иметь:

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

Интервалы
Знак выражения	+	−	+	−	+

С учетом ограничений на x получим:

Ответ:

В логарифмах прейдем к десятичному основанию:

Введем переменную Тогда:

Пусть

В таком случае будем иметь:

Значит,

Мы получили часть искомого решения.

Пусть теперь

Тогда:

Перейдем к переменной x.

Нами получена другая часть решения.

Объединим результаты:

Ответ:

Найдем ограничения на х.

Решения заданного неравенства будем искать на множестве

На М:

Множеству М принадлежит только корень

Далее:

Решим это неравенство методом рационализации.

С учетом ограничений на х:

Ответ:

Точка не является решением неравенства. При получаем:

Пусть тогда:

Неравенство не имеет решений, а из неравенства получаем: Сравним и

Следовательно, и поэтому решением неравенства являются два промежутка: и

Ответ:

Ограничения на x:

1. Рассмотрим неравенство на множестве где

На нем:

Введем новую переменную.

Пусть тогда

Мы получили неравенство у которого решений нет.

2. Рассмотрим теперь исходное неравенство на множестве Там

Неравенство перепишем так:

появляется возможность внести его под корень четной степени. Далее:

Если то   

Теперь решим неравенство на множестве

а)

б)

Пересечем результаты, полученные в подпунктах а) и б). Искомым множеством будет числовой отрезок

Ответ:

Пусть Тогда

Перейдем к переменной x.

Итак, исходному неравенству удовлетворяют элементы множества

Ответ:

Пусть тогда:

Перейдем к переменной x.

Итак, искомые значения х:

Ответ:

Пусть тогда: Найдем корни числителя левой части последнего неравенства.

Неравенство решим методом интервалов.

Интервалы
Знак выражения	−	+	−	+

Итак, Перейдем к переменной х.    (*)

Найдем корни числителя левой части последнего неравенства:

Далее имеем:

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Заметим, что

Интервалы
Знак выражения	+	+	−	+	−	+

Решения неравенства (**) :

Объединив решения неравенств (*) и (**) будем иметь:

Ответ:

Найдем ограничения на x:

Таким образом, переменная, находящаяся под знаком радикала, пробегает все значения из Это позволяет сделать замену переменной

Теперь рассмотрим функцию с целью решения неравенства методом интервалов на множестве

Найдем нули

Найденные нули функции делят отрезок на промежутки знакопостоянства функции Найдем эти знаки.

Мы нашли знак функции на самом удобном интервале, на остальных интервалах знаки определим используя принцип их поочередного чередования:

на и на

Поскольку

Ответ:

Пусть Тогда:

Найдем корни числителя.

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	−	+	−	+

Перейдем к переменной x.

Ответ:

Пусть тогда

Вернемся к исходной переменной:

Неравенство (*) не имеет решения, поскольку а значит,

Ответ:

Ограничения на x:

Кроме того,

Пусть тогда:

Прежде решим уравнение: т. е.       Далее при имеем:

Перейдя к переменной x, получим:

Так как при то последнее неравенство равносильно неравенству

С учетом ограничений на x:    Мы получили другую часть решений неравенства.

Ответ:

Найдем ограничения на x:

В дальнейшем неравенство будем рассматривать исключительно на множестве

Введем новые переменные. Пусть Тогда:

Переходим к переменной x.

1) Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x = 1,5; функция — возрастающая в области определения; функция же — убывающая в своей области определения; при x = 1,5 обе эти функции определены.

Из сказанного вывод: в соответствии с теоремой о корне, уравнение не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5 — часть решений исходного неравенства.

2) Решим неравенство

Таким образом, решения заданного неравенства:

Ответ:

Ограничения на x:

Для таких x:

Пусть Тогда

Перейдем к переменной x.

Полученный отрицательный корень не подходит. При имеющихся ограничениях на x:

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Заданное неравенство будем рассматривать только на множестве

Пусть Тогда:

Теперь перейдем к переменной х и воспользуемся методом рационализации.

Найдем корни квадратного трехчлена

Заметим, что на M для любого x: (для последнего Следовательно,

Решим последнее неравенство методом интервалов. Неравенства

очевидны. Таким образом, решениями исходного неравенства являются элементы множества

Ответ:

Ограничения на x:

На множестве найденных ограничений исходное неравенство равносильно следующей цепочке неравенств:

С учетом ограничений на x решения исходного неравенства представляются множеством

Ответ:

Найдем ограничения на х:   

На множестве допустимых значений х:

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Интервалы

Итак, Перейдем к переменной х.

С учетом ограничений на х: искомые решения

Ответ:

Ограничения на x:

На множестве допустимых значений x:

Введем новую переменную. Пусть Тогда:

Перейдем к переменной x.

С учетом ограничений на x:

С учетом ограничений на x:

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Теперь заданное неравенство будем рассматривать только на множестве

На M:

Полученное неравенство будем решать методом интервалов.

Интервалы
Знак рационального выражения	+	−	+	−	−	+

Решения исходного неравенства:

Ответ:

Пусть

Тогда:

Но следовательно,

значит,

а это в свою очередь означает, что:

Ответ:

Найдем ограничения на x.

Далее заданное неравенство будем рассматривать только на множестве

Так как для всех то на M:

С учетом ограничений на x получим:

Для полноты решения докажем, что Действительно, Очевидно:

Ответ:

Замена переменной: пусть тогда:

Найдем ограничения на t.

В дальнейшем неравенство будем рассматривать только на множестве

На M:

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Введем функцию Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2).

Далее будет чередование знаков.

Интервалы
Знак выражения	−	+	−

Таким образом,

Перейдем к переменной x.

Ответ:

Найдем ограничения на x:

В дальнейшем заданное неравенство будем рассматривать только на множестве

На M:

1) Если то есть то:

2) Если то есть то:

Итак, решения заданного неравенства:

Ответ:

Значение при любом Следовательно,

Докажем неравенство

Следовательно,

Ответ:

Найдем ограничения на x.

или

или

Заданное неравенство далее будем рассматривать только на множестве

На М:

Покажем, что Действительно,

(неравенство очевидное).

С учетом ограничений на х получим ответ:

Ответ:

Последовательно получаем:

Пусть t > 0. Тогда:

Квадратный трехчлен при любом t, поскольку

В таком случае Перейдем к переменной x.

Последнее неравенство верно при всех x ∈ R, за исключением числа 1.

Ответ:

Решение 1.

Найдем ограничения на x:

Таким образом, в дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве Так как то:

Ясно, что но убедимся, что

(неравенство очевидное).

Таким образом, искомыми значениями х являются элементы множества

Ответ:

Решение 2.

Очевидно x > 1, иначе внутренний логарифм не определен. Тогда

Ответ:

Пусть Тогда:

Обнаружив одно из решений последнего неравенства t = 3, перейдем к решению неравенства

Перейдем к переменной x.

Ответ:

Преобразуем неравенство

Откуда

Ответ:

Заметим сразу, что Перепишем неравенство

Применим рационализацию

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Преобразуем неравенство, сменив основание и умножив на (не забудем потом учесть, что ).

Если то обе скобки отрицательны, и неравенство не выполняется.

Если же то — возрастающая функция, причем при и при Поэтому первая скобка меняет знак при вторая — при Тогда

Ответ:

Преобразуем неравенство, учитывая

Итак, сумма двух взаимно обратных чисел больше двух. Так бывает, если они положительны и не равны 1.

только при то есть при

возможно в двух случаях — либо (то есть либо (что невозможно).

Ответ:

Сделаем замену Получим

Очевидно, при неравенство будет выполнено, а при неравенство не определено.

При преобразуем неравенство

Учитывая условие и объединяя с получаем ответ

То есть

Ответ:

ОДЗ неравенства

Разберем два случая.

1) Неравенство равносильно то есть что верно на всем промежутке.

2) Неравенство равносильно то есть что верно при

Ответ:

Перепишем неравенство (сразу заметим, что )

Очевидно, поэтому необходимо чтобы лежало в промежутке То есть

Учитывая ранее поставленные ограничения, получаем

Ответ:

Поскольку имеем Разберем два случая.

1) Тогда неравенство перепишется так

Итак, на всем этом промежутке неравенство выполняется.

2) Тогда неравенство перепишется так

Итак, подходят

Ответ:

Сделаем замену Заметим сразу, что поэтому Получим

Ответ

Обозначим заметим также, что

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Ясно, что причем подходит.

Пусть теперь Тогда неравенство сводится к такому:

При синус отрицателен, это нам не подходит.

При нам подойдет промежуток (отметим, что ).

Ответ:

ОДЗ неравенства или

Рационализируем неравенство

C учетом ОДЗ получаем

Ответ:

Обозначим Сразу отметим, что

Получим откуда или Решим оба неравенства (заметим, кстати, что ).

Случай 1.

Учитывая условия на x, получаем

Случай 2.

Поскольку нас интересуют только первый множитель положителен.

Учитывая условия на x, получаем Заметим, кстати, что

Ответ:

ОДЗ неравенства поэтому или

Преобразуем неравенство

Разберем несколько случаев.

1) то есть Тогда неравенство сводится к

2) то есть Тогда неравенство сводится к

3) Тогда получаем верное равенство.

Ответ:

Обозначим

Неравенство примет вид

Ответ:

Разберем три случая.

1) Тогда Поделив неравенство на это выражение, получим Сделаем замену получим

2) Неравенство обращается в равенство.

3) Тогда Поделив неравенство на это выражение, получим Сделаем замену получим

значит  — невозможно.

Ответ:

Пусть , тогда ,

Вторая дробь сократима на . После сокращения и приведения к общему знаменателю имеем:

Пусть тогда

Вернемся к исходной переменной:

Ответ:

Сразу отметим, что Приводя все логарифмы к основанию , получим

Обозначая левую часть за имеем откуда или

В первом случае имеем

Во втором случае поскольку (иначе ) можно домножить на знаменатель

Это верно.

Ответ:

Пусть неравенство примет вид откуда

Вернемся к исходной переменной: тогда

Ответ:

Перепишем неравенство в виде Преобразуем дальше, сделав замену

Учитывая, что получаем

Ответ:

Обозначим и преобразуем неравенство.

Вернемся к исходной переменной:

Ответ:

Преобразуем неравенство при :

При первая скобка положительна, а вторая отрицательна.

При первая скобка отрицательна и вторая тоже.

При получаем равенство.

При обе скобки положительны

Ответ:

При перепишем неравенство в виде

Очевидно это верно при всех Это и есть ответ.

Ответ:

Преобразуем уравнение

Посление две скобки всегда имеют одинаковый знак, кроме когда они обе равны нулю. Первая скобка неотрицательна при

Ответ:

При преобразуем неравенство

Первая скобка всегда положительна. Значит,

Ответ:

Ясно, что поэтому откуда При таких неравенство сводится к такому

Что верно, поскольку правая часть положительна, а левая отрицательна.

Ответ:

Перепишем неравенство в виде и рассмотрим случаи.

1) При неравенство равносильно что очевидно неверно - при правая часть больше единицы, а левая меньше.

2) При возникают снова два случая.

При неравенство равносильно что очевидно верно.

При неравенство равносильно то есть что верно при Окончательно получаем ответ:

Ответ:

Обозначим тогда получим При подкоренное выражение отрицательно, Значит,

Пусть тогда откуда (отрицательные не рассматриваем). То есть откуда то есть

Ответ:

Обозначая получаем

Ответ:

Поскольку (одно из слагаемых больше единицы), то неравенство сводится к

Сразу отметим, что

Ответ:

Домножая неравенство на 3, получим Перенесем все в одну часть и сделаем рационализацию при условиях

откуда

Ответ:

Пусть Тогда при положительных получаем что невозможно. При отрицательных получаем

Ответ:

Обозначим и приведем все логарифмы к основанию 2,учитывая что имеем:

Вернемся к исходной переменной:

Ответ:

При преобразуем неравенство:

Окончательно

Ответ:

Сразу отметим, что Ясно, что При таких получим по методу рационализации

Ответ: