Каталог заданий.
Неравенства различных типов
Неравенства различных типов
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения 
и 
обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: 
и 
должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство 
Очевидно, что 
т. е. для любого 
при любом значении 
Отсюда вывод: выражение 
Решим его:
Выше было выявлено, что 
Это значит, что 
Следовательно, 
и 
мы вправе переписать заданное неравенство так: 
так как 
Решение · ·
2
при любом значении 
то 
функция 
— возрастающая как произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения. На этом промежутке непрерывная функция примет наименьшее значение в точке 0, наибольшее значение — в точке 
Покажем, что упомянутое наибольшее значение функции будет меньше 4. Действительно, 
или 
или 
или 
можно вести и так:
Решение · ·
3
при всех значениях x, поскольку 
Следовательно, 
Решение · ·
4
так как 
Для таких x:
Решение · ·
5
при любом 
так как 
Тогда:
то 
6
методом рационализации.
то 
для всех 
Следовательно на M: 
Решение · ·
7
8
не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что 
(неравенство очевидное).
9
будем иметь:
являются элементы множества 
Решение · ·
10
(неравенство очевидное).
(неравенство доказано выше).
Решение · ·
11
имеем: 
Решение · ·
12
13
Решение · ·
14
или 
Решение · ·
15
Для таких х:
следовательно, на 
16
следовательно, 
а это значит, что на M правая часть неравенства неотрицательна при всех значениях 
т. е. 
то заданное неравенство будет выполнено при всех 
Это — часть искомого решения.
т. е. 
то имеет место система неравенств: 
при 
или при 
(но 
есть одно из решений исходного неравенства. 
и решим неравенство 
Решение будем вести на M методом рационализации. 
следовательно, 
Решение · ·
17
При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства 
так как 
то 
или 
или 
то 
или 
или 
или 
Решение · ·
18
Решение · ·
19
тогда 
Решение · ·
20
т. е. при 
будем иметь: 
Решение · ·
21
Решение · ·
22
или 
строго положительно при любом значении x, отличном от 2. (Значение
в данном неравенстве из рассмотрения исключается, см. ограничение (2)). Действительно, 
Так как 
тогда:
(в соответствии с (2) и (3)).
Решение · ·
23
В таком случае ограничения x: 
примет вид:
(неравенство очевидное).
Решение · ·
24
тогда 
следовательно, посторонний. Второе:
т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно 
методом интервалов.
25
не меньше 1, а правая же часть — не больше 1. Следовательно, неравенство выполнимо при равенстве обеих частей, т. е. лишь при 
Решение · ·
26
то 
получим часть решений заданного неравенства: 
то 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
Решение · ·
27
При этом 
следовательно, 
Решение · ·
28
так как при этих значениях также выполняются условия: 
Для таких x:
Решение · ·
29
Решение · ·
30
Тогда: 
Решение · ·
31
32
не является решением неравенства. При 
получаем:
тогда:
не имеет решений, а из неравенства 
получаем: 
Сравним 
и 
и поэтому решением неравенства являются два промежутка: 
и 
33
где 
тогда 
у которого решений нет. 
Там 
И тогда 
на множестве 
Решение · ·
34
Тогда 
Решение · ·
35
тогда: 
Решение · ·
36
тогда: 
Найдем корни числителя левой части последнего неравенства. 
Перейдем к переменной х. 
(*)
(**)
Решение · ·
37
Это позволяет сделать замену переменной 
с целью решения неравенства 
методом интервалов на множестве 
на промежутки знакопостоянства функции 
Найдем эти знаки. 
и на 
Решение · ·
38
Тогда: 
Решение · ·
39
тогда 
а значит, 
Решение · ·
40
тогда: 
т. е. 
Далее при 
имеем: 
то последнее неравенство равносильно неравенству 
Мы получили другую часть решений неравенства. 
Решение · ·
41
Тогда: 
Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x = 1,5; функция 
— возрастающая в области определения; функция же 
— убывающая в своей области определения; при x = 1,5 обе эти функции определены. 
не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5 — часть решений исходного неравенства. 
Решение · ·
42
не подходит. При имеющихся ограничениях на x:
43
Тогда: 
(для последнего 
Следовательно,
Решение · ·
44
Решение · ·
45
тогда 
Перейдем к переменной х. 
Решение · ·
46
Тогда: 
47
Решение · ·
48
следовательно, 
Решение · ·
49
для всех 
то на M:
Действительно, 
Очевидно: 
Решение · ·
50
будем рассматривать только на множестве 
Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2). 
Решение · ·
51
то есть 
то: 
то есть 
то:
Решение · ·
52
при любом 
Решение · ·
53
Действительно, 
Решение · ·
54
t > 0. Тогда: 
при любом t, поскольку 
Перейдем к переменной x.
Решение · ·
55
Так как 
то:
(все корректно, так как 
).
Решение · ·
56
Тогда:
Решение · ·
57
,
,
Решение · ·
58
Перепишем неравенство
или 
Решение · ·
59
(не забудем потом учесть, что 
то обе скобки отрицательны, и неравенство не выполняется.
— возрастающая функция, причем 
при 
при 
Поэтому первая скобка меняет знак при 
вторая — при 
60
только при 
то есть при 
возможно в двух случаях — либо 
(то есть 
либо 
(что невозможно).
Решение · ·
61
Получим
неравенство будет выполнено, а при 
неравенство не определено. 
преобразуем неравенство
получаем ответ 
Решение · ·
62
Неравенство равносильно 
то есть
что верно на всем промежутке.
Неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
Решение · ·
63
)
поэтому необходимо чтобы 
лежало в промежутке 
То есть 
Решение · ·
64
имеем 
Разберем два случая.
Тогда неравенство перепишется так
Тогда неравенство перепишется так
65
Заметим сразу, что 
поэтому 
Получим 
или 
или 
или 
или 
или 
Решение · ·
66
заметим также, что 
67
причем 
подходит.
Тогда неравенство сводится к такому:
синус отрицателен, это нам не подходит.
нам подойдет промежуток 
(отметим, что 
).
Решение · ·
68
или 
Решение · ·
69
Сразу отметим, что 
откуда 
или 
Решим оба неравенства (заметим, кстати, что 
).
первый множитель положителен.
Заметим, кстати, что 
Решение · ·
70
поэтому 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
что верно при всех x при 
Тогда получаем верное равенство.
Решение · ·
71
(делить на t можно, оно положительное),
или 
или 
или 
Решение · ·
72
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
получим 
Неравенство обращается в равенство.
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
Решение · ·
73
.
. Получаем 
.
.Решение · ·
74
.
, тогда 
, 
. После сокращения и приведения к общему знаменателю имеем: 
. Значит, 
Решение · ·
75
.
тогда 
Решение · ·
76
то 
(иначе второй корень неопределен)
обе части определены и неотрицательны, можно возвести в квадрат.
обе части определены и неотрицательны (поскольку 
то есть 
Второй корень отрицательный, он неважен. 
Решение · ·
77
Приводя все логарифмы к основанию 
, получим 
откуда 
или 
(иначе 
) можно домножить на знаменатель
Это верно.
Решение · ·
78
.
.
Решение · ·
79
Перепишем его в виде 
основание меньше единицы, получаем 
то есть 
Решение · ·
80
неравенство примет вид 
откуда 
тогда 
Решение · ·
81
.
Преобразуем дальше, сделав замену 
Решение · ·
82
.
и преобразуем неравенство.
Решение · ·
83
:
первая скобка положительна, а вторая отрицательна.
первая скобка отрицательна 
и вторая тоже.
Решение · ·
84
перепишем неравенство в виде
Это и есть ответ.
Решение · ·
85
когда они обе равны нулю. Первая скобка неотрицательна при 
Решение · ·
86
Решение · ·
87
поэтому 
откуда 
При таких 
Решение · ·
88
и рассмотрим случаи.
неравенство равносильно 
что очевидно неверно - при 
правая часть больше единицы, а левая меньше.
возникают снова два случая.
неравенство равносильно 
что очевидно верно.
неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
Окончательно получаем ответ: 
Решение · ·
89
и сразу отметим, что 
и 
иначе 
или 
будет неопределено. При 
и неравенство обратилось в равенство 
При прочих 
это выражение положительно и на него можно поделить. 
Решение · ·
90
тогда получим 
При 
подкоренное выражение отрицательно, Значит, 
тогда 
откуда 
(отрицательные 
не рассматриваем). То есть 
откуда 
то есть 
Решение · ·
91
получаем
Значит, 
Решение · ·
92
(так как одно из слагаемых больше единицы), то неравенство сводится к неравенству 
Тогда: 
Решение · ·
93
Перенесем все в одну часть и сделаем рационализацию при условиях 
Решение · ·
94
Тогда при положительных 
что невозможно. При отрицательных 
Решение · ·
95
и приведем все логарифмы к основанию 2,учитывая что 
имеем:
Решение · ·
96
преобразуем неравенство:
Решение · ·
97
Ясно, что 
При таких 
Решение · ·
98
При этих условиях получаем
Решение · ·
99
Преобразуем его на ОДЗ и применим метод рационализации.
Решение · ·
100
Решение · ·
101
знаменатель всюду положителен. Домножим на него и на 
откуда
или 
или 
или 
или 
Решение · ·
102
тогда неравенство примет вид
и 
и 
Решение · ·
103
и 
При этих условиях, обозначая 
имеем
Решение · ·
104
тогда 
и 
При этих условиях проведем рационализацию.
Решение · ·
105
и преобразуем неравенство. Затем сделаем замену 
Решение · ·
106
Решение · ·
107
Решение · ·
108
Решение · ·
Пройти тестирование по этим заданиям
