Найдем ограничения на Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения и обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: и должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство

Оценим Очевидно, что т. е. для любого

Следовательно, при любом значении Отсюда вывод: выражение также обязано быть отрицательным. Последнее условие будет выполнено, если имеет место неравенство Решим его:

Теперь найдем знак выражения Выше было выявлено, что Это значит, что

Ясно, что Следовательно,

Когда нам известен знак каждого из выражений и мы вправе переписать заданное неравенство так:

Оно равносильно цепочке следующих неравенств:

Последнее неравенство верно при всех значениях переменной так как

Итак, заданное неравенство верно при всех допустимых значениях т. е при

Ответ:

Найдем ограничения на

Докажем, что при любом значении

Если то

При функция — возрастающая как произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения. На этом промежутке непрерывная функция примет наименьшее значение в точке 0, наибольшее значение — в точке Покажем, что упомянутое наибольшее значение функции будет меньше 4. Действительно,

(очевидное неравенство).

Таким образом,

Замечание: в целях устранения громоздких записей решение неравенства можно вести и так:

Решим две системы:

1)

2)

Объединив два полученных результата, будем иметь:

Ответ:

Последовательно получаем:

Заметим, что при всех значениях x, поскольку Следовательно,

Итак, искомые значения x:

Ответ:

Найдем ограничения на x. Прежде заметим, что основание логарифма положительно при любом так как

Покажем, что

(неравенство очевидное).

Итак, разрешенными значениями x являются числа из промежутка Для таких x:

Полученное неравенство с учетом ограничений на х решим методом интервалов.

Интервалы
Знак левой части неравенства с учетом ограничений	+	−	+

Итак, решения исходного неравенства:

Ответ:

Заметим, что при любом поскольку

Аналогично так как

Перепишем заданное уравнение так:

Введем новую переменную: пусть Тогда:

Так как то

Далее будем иметь:

Решениями неравенства являются элементы множества

Ответ: