Каталог заданий.
Неравенства различных типов
Неравенства различных типов
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения 
и 
обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: 
и 
должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство 
Очевидно, что 
т. е. для любого 
при любом значении 
Отсюда вывод: выражение 
Решим его:
Выше было выявлено, что 
Это значит, что 
Следовательно, 
и 
мы вправе переписать заданное неравенство так: 
так как 
Решение · ·
2
при любом значении 
то 
функция 
— возрастающая как произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения. На этом промежутке непрерывная функция примет наименьшее значение в точке 0, наибольшее значение — в точке 
Покажем, что упомянутое наибольшее значение функции будет меньше 4. Действительно, 
или 
или 
или 
можно вести и так:
Решение · ·
3
при всех значениях x, поскольку 
Следовательно, 
Решение · ·
4
так как 
Для таких x:
Решение · ·
5
при любом 
так как 
Тогда:
то 
6
методом рационализации.
то 
для всех 
Следовательно, на M: 
Решение · ·
7
8
не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что 
(неравенство очевидное).
9
будем иметь:
являются элементы множества 
Решение · ·
10
(неравенство очевидное).
(неравенство доказано выше).
Решение · ·
11
имеем: 
Решение · ·
12
13
Решение · ·
14
или 
Решение · ·
15
Для таких х:
следовательно, на 
16
следовательно, 
а это значит, что на M правая часть неравенства неотрицательна при всех значениях 
т. е. 
то заданное неравенство будет выполнено при всех 
Это — часть искомого решения.
т. е. 
то имеет место система неравенств: 
при 
или при 
(но 
есть одно из решений исходного неравенства. 
и решим неравенство 
Решение будем вести на M методом рационализации. 
следовательно, 
Решение · ·
17
При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства 
так как 
то 
или 
или 
то 
или 
или 
или 
18
Решение · ·
19
тогда 
Решение · ·
20
т. е. при 
будем иметь: 
21
22
или 
строго положительно при любом значении x, отличном от 2. (Значение
в данном неравенстве из рассмотрения исключается, см. ограничение (2)). Действительно, 
Так как 
тогда:
(в соответствии с (2) и (3)).
Решение · ·
23
В таком случае ограничения x: 
примет вид:
(неравенство очевидное).
24
тогда 
следовательно, посторонний. Второе:
т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно 
методом интервалов.
25
не меньше 1, а правая же часть — не больше 1. Следовательно, неравенство выполнимо при равенстве обеих частей, т. е. лишь при 
Решение · ·
26
то 
получим часть решений заданного неравенства: 
то 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
Решение · ·
27
При этом 
следовательно, 
Решение · ·
28
так как при этих значениях также выполняются условия: 
Для таких x:
Решение · ·
29
Решение · ·
30
Тогда: 
Решение · ·
31
32
не является решением неравенства. При 
получаем:
тогда:
не имеет решений, а из неравенства 
получаем: 
Сравним 
и 
и поэтому решением неравенства являются два промежутка: 
и 
33
где 
тогда 
у которого решений нет. 
Там 
И тогда 
на множестве 
Решение · ·
34
Тогда 
35
тогда: 
36
тогда: 
Найдем корни числителя левой части последнего неравенства. 
Перейдем к переменной х. 
(*)
(**)
37
Это позволяет сделать замену переменной 
с целью решения неравенства 
методом интервалов на множестве 
на промежутки знакопостоянства функции 
Найдем эти знаки. 
и на 
38
Тогда: 
39
тогда 
а значит, 
Решение · ·
40
тогда: 
т. е. 
Далее при 
имеем: 
то последнее неравенство равносильно неравенству 
Мы получили другую часть решений неравенства. 
41
Тогда: 
Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x = 1,5; функция 
— возрастающая в области определения; функция же 
— убывающая в своей области определения; при x = 1,5 обе эти функции определены. 
не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5 — часть решений исходного неравенства. 
42
не подходит. При имеющихся ограничениях на x:
43
Тогда: 
(для последнего 
Следовательно,
44
45
тогда 
Перейдем к переменной х. 
46
Тогда: 
47
48
следовательно, 
49
для всех 
то на M:
Действительно, 
Очевидно: 
50
будем рассматривать только на множестве 
Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2). 
51
то есть 
то: 
то есть 
то:
52
при любом 
53
Действительно, 
54
t > 0. Тогда: 
при любом t, поскольку 
Перейдем к переменной x.
55
Так как 
то:
(все корректно, так как 
).
Решение · ·
56
Тогда:
57
,
,
58
Перепишем неравенство
или 
59
(не забудем потом учесть, что 
то обе скобки отрицательны, и неравенство не выполняется.
— возрастающая функция, причем 
при 
при 
Поэтому первая скобка меняет знак при 
вторая — при 
60
только при 
то есть при 
возможно в двух случаях — либо 
(то есть 
либо 
(что невозможно).
61
Получим
неравенство будет выполнено, а при 
неравенство не определено. 
преобразуем неравенство
получаем ответ 
62
Неравенство равносильно 
то есть
что верно на всем промежутке.
Неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
63
)
поэтому необходимо чтобы 
лежало в промежутке 
То есть 
Решение · ·
64
имеем 
Разберем два случая.
Тогда неравенство перепишется так
Тогда неравенство перепишется так
65
Заметим сразу, что 
поэтому 
Получим 
или 
или 
или 
или 
или 
66
заметим также, что 
67
причем 
подходит.
Тогда неравенство сводится к такому:
синус отрицателен, это нам не подходит.
нам подойдет промежуток 
(отметим, что 
).
Решение · ·
68
или 
Решение · ·
69
Сразу отметим, что 
откуда 
или 
Решим оба неравенства (заметим, кстати, что 
).
первый множитель положителен.
Заметим, кстати, что 
70
поэтому 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
что верно при всех x при 
Тогда получаем верное равенство.
71
(делить на t можно, оно положительное),
или 
или 
или 
72
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
получим 
Неравенство обращается в равенство.
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
73
74
Неравенство примет вид 
Преобразуем его:
То есть 
Окончательно: 
75
Неравенство примет вид 
Преобразуем его:
76
или 
77
и отметим сразу, что 
При 
то есть 
неравенство обращается в равенство, а при 
на выражение 
можно сократить, поскольку оно положительно. Получаем: 
или 
78
и упростим неравенство.
Поэтому 
79
поэтому основание логарифма всегда меньше 
и 
Тогда можно снять логарифмы, поменяв знак:
При этих значениях x число логарифма 
положительно, а 
не меньше его, поэтому тоже положительно. Значит, никаких больше ограничений не требуется.
80
Сделаем замену 
Получим
Поэтому 
81
Получим 
82
получим неравенство 
Ясно, что 
откуда 
Кроме того, 
Первый модуль можно раскрыть. Получим 
Это просто означает, что 
то есть (учитывая уже полученные ограничения) 
Тогда 
83
и сведем все неравенство к 
Получим
Отсюда 
84
и рационализируем его:
Неравенство определено при 
и 
то есть при 
Отметим, что 
Окончательно получим ответ 
85
получим: 
86
то есть 
кроме того, 
и 
откуда 
Теперь перейдем к другому основанию и рационализируем неравенство:
Получим 
Учитывая выписанные выше ограничения, получаем ответ 
87
При таких 
неравенство равносильно:
Учитывая ОДЗ, пишем окончательный ответ 
88
получим неравенство:
89
получим 
то есть 
или 
При 
или 
Второе всегда верно. При 
получим 
или 
Первое верно при 
второе при 
Еще следует учесть, что 
иначе логарифмы не определены. 
90
При прочих 
числитель должен быть неотрицателен. Обозначив 
получим: 
будет 
а при 
функция 
возрастает, причем 
и 
поэтому нам подходят положительные 
либо от 
Решение · ·
91
Перепишем неравенство:
92
Поэтому 
Перейдем к основанию 2 и рационализируем неравенство:
Учитывая ограничения, получим: 
93
Получим уравнение 
Значит, 
или 
Поэтому либо 
либо 
На нашем промежутке из этих чисел лежат: 
так никогда не бывает.
94
Первые два условия дают 
третье запрещает 
четвертое выполнено всегда, пятое запрещает точки 
Из них на промежутке 
лежат: 
неравенство обращается в равенство. При прочих 
не влияет на знак и его можно сократить. Перейдем в логарифме к новому основанию и рационализируем неравенство:
при всех допустимых 
95
и 
А, кроме того, подкоренное выражение неотрицательно. Имеем:
положительно, поэтому можно домножить на него:
правая часть отрицательна, поскольку равна 
На этом промежутке 
причем последнее равенство достигается только при 
но там первые неравенства становятся строгими. Значит, левая часть (она положительна) больше правой. Неравенство верно.
выражение 
положительно. Значит, можно возвести неравенство в квадрат:
Очевидно, на нашем промежутке 
и 
это невозможно. Значит, весь этот промежуток не подходит.
96
Больше никаких условий в ОДЗ нет, поскольку: 
упростим так:
97
для него получится 0.
98
и 
Получим:
поэтому 
и на него можно сократить. Имеем: 
Поскольку 
единственный шанс — взять такое 
Для 
подходит только 
99
Третье неравенство дает 
второе 
а остальные уже ничего не добавляют. Итак, 
Значит, 
Преобразуем неравенство:
Получим:
100
поэтому 
поэтому первая скобка всегда положительна и на знак не влияет. Имеем:
это точно верно. При прочих 
101
Получим:
102
то есть при 
Решим теперь на этом промежутке неравенство 
Имеем:
поэтому 
Поэтому требуется, чтобы 
Это возможно только при 
Тогда 
103
104
Неравенство запишется так:
при этом 
Имеем:
105
Тогда:
неравенство принимает вид 
неравенство принимает вид 
106
Неревенство примет вид 
никогда не лежит, поскольку неположительно. Значит:
107
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число.
или 
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число. Имеем:
108
При этих 
109
.
(первое ограничение из-за 
в числителе). Рационализируем числитель:
110
.
. Получаем 
.
.111
.
, тогда 
, 
. После сокращения и приведения к общему знаменателю имеем: 
. Значит, 
112
.
тогда 
113
то 
(иначе второй корень неопределен)
обе части определены и неотрицательны, можно возвести в квадрат.
обе части определены и неотрицательны (поскольку 
то есть 
Второй корень отрицательный, он неважен. 
114
Приводя все логарифмы к основанию 
, получим 
откуда 
или 
(иначе 
) можно домножить на знаменатель
Это верно.
115
.
.
116
Перепишем его в виде 
то есть 
117
неравенство примет вид 
откуда 
тогда 
118
.
Преобразуем дальше, сделав замену 
Решение · ·
119
.
и преобразуем неравенство.
120
:
первая скобка положительна, а вторая отрицательна.
первая скобка отрицательна 
и вторая тоже.
121
перепишем неравенство в виде
Это и есть ответ.
122
123
Решение · ·
124
поэтому 
откуда 
При таких 
125
и рассмотрим случаи.
неравенство равносильно 
что очевидно неверно - при 
правая часть больше единицы, а левая меньше.
возникают снова два случая.
неравенство равносильно 
что очевидно верно.
неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
Окончательно получаем ответ: 
126
и сразу отметим, что 
и 
иначе 
или 
будет неопределено. При 
и неравенство обратилось в равенство 
При прочих 
это выражение положительно и на него можно поделить. 
127
тогда получим 
При 
подкоренное выражение отрицательно, Значит, 
тогда 
откуда 
(отрицательные 
не рассматриваем). То есть 
откуда 
то есть 
128
получаем
Значит, 
129
(так как одно из слагаемых больше единицы), то неравенство сводится к неравенству 
Тогда: 
130
Перенесем все в одну часть и сделаем рационализацию при условиях 
131
Тогда при положительных 
что невозможно. При отрицательных 
132
и приведем все логарифмы к основанию 2,учитывая что 
имеем:
133
преобразуем неравенство:
134
Ясно, что 
При таких 
135
При этих условиях получаем
136
Преобразуем его на ОДЗ и применим метод рационализации.
Решение · ·
137
138
знаменатель всюду положителен. Домножим на него и на 
откуда
или 
или 
или 
или 
Решение · ·
139
тогда неравенство примет вид
и 
и 
140
и 
При этих условиях, обозначая 
имеем
141
тогда 
и 
При этих условиях проведем рационализацию.
142
и преобразуем неравенство. Затем сделаем замену 
143
144
145
146
Получим:
второй промежуток можно убрать, попасть в него нельзя. Далее:
147
Получим:
148
поэтому 
поэтому 
Это уравнение мы уже решали, но теперь у него как раз 
корень, а 
посторонний корень.
неверно.
верно.
неверно, левая часть отрицательна.
верно, знаменатель левой части явно положителен.
верно.
Решение · ·
149
если они оба положительные, одно больше единицы, а другое меньше. Поэтому при всех 
левая часть неравенства отрицательна. Значит, при всех этих x неравенство выполнено, а другие x подставлять нельзя.
150
тогда 
Неравенство примет вид
Решение · ·
151
и сделаем замену 
Имеем:
Далее:
152
то есть 
Имеем:
имеем: 
153
то есть 
Имеем:
то выражение сверху будет равно 
Имеем:
получаем окончательно 
154
(то есть 
) и 
(то есть 
При этих условиях преобразуем неравенство и рационализируем его.
В (**) сокращать можно, поскольку 
Все эти ответы удовлетворяют наложенным изначально ограничениям.155
Обозначим 
тогда неравенство примет вид:
Если 
мы получаем систему неравенств, которую решим, рационализируя их. Имеем:
Окончательно: 
Решение · ·
156
имеем:
Имеем:
(остальные ответы не удовлетворяют условию 
).
имеем:
Поэтому такой случай невозможен.
157
После преобразований получим:
первое неравенство не выполняется. При 
находим
Перейдём 
158
159
Решение · ·
160
Первое условие дает 
то есть 
Второе условие дает 
Третье выполнено автоматически, поскольку 
или 
Поэтому все вместе они задают такую область определения неравенства — 
При таких x преобразуем неравенство:
161
или 
На ОДЗ неравенство можно преобразовать так:
162
имеем 
поэтому неравенство можно переписать в виде:
163
164
поэтому показатель степени должен быть неотрицательным. То есть 
При 
имеем: 
поэтому показатель степени должен быть неположительным. То есть 
основание неположительно, такое выражение считается неопределенным, даже если формальная подстановка возможна (например, при 
получаем 
).
Пройти тестирование по этим заданиям
