ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 508109 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше \log _5 левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка .$

Решение.

Заметим, что $x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 0$ при любом $x принадлежит R,$ поскольку $x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс 1 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше 0.$

Аналогично $5x в квадрате минус 10x плюс 10 больше 0,$ так как $5x в квадрате минус 10x плюс 10=5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$

Перепишем заданное уравнение так: $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$

Введем новую переменную: пусть $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t,t больше или равно 0.$ Тогда:

$1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t в квадрате ,\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =1 минус t в квадрате ,1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =2 минус t в квадрате .$ $1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t в квадрате ,\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =$
$=1 минус t в квадрате ,1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =2 минус t в квадрате .$

$t меньше 2 минус t в квадрате равносильно t в квадрате плюс t минус 2 меньше 0 равносильно минус 2 меньше t меньше 1.$

Так как $t больше или равно 0,$ то $0 меньше или равно t меньше 1.$

Далее будем иметь:

$корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x не равно 1 . конец системы .$

Решениями неравенства являются элементы множества $левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 508109: 508156 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д12 C3 № 508156 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 96

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка .$

Решение.

Преобразуем правую часть неравенства.

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента 5 плюс \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента 5 плюс \log _ корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$

Пусть $\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t.$

Тогда:

$корень из: начало аргумента: 1 минус t конец аргумента меньше 1 плюс t равносильно система выражений новая строка 1 минус t больше или равно 0 , новая строка 1 плюс t больше 0 , новая строка 1 минус t меньше 1 плюс 2t плюс t в квадрате конец системы . равносильно система выражений новая строка t меньше или равно 1 , новая строка t больше минус 1 , новая строка t в квадрате плюс 3t больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше t меньше или равно 1 , новая строка t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше t меньше или равно 1, новая строка совокупность выражений новая строка t меньше минус 3, новая строка t больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно 0 меньше t меньше или равно 1.$ $корень из: начало аргумента: 1 минус t конец аргумента меньше 1 плюс t равносильно система выражений новая строка 1 минус t больше или равно 0 , новая строка 1 плюс t больше 0 , новая строка 1 минус t меньше 1 плюс 2t плюс t в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t меньше или равно 1 , новая строка t больше минус 1 , новая строка t в квадрате плюс 3t больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше t меньше или равно 1 , новая строка t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше t меньше или равно 1, новая строка совокупность выражений новая строка t меньше минус 3, новая строка t больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно 0 меньше t меньше или равно 1.$

Перейдем к переменной x.

$0 меньше \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x не равно 1 . конец системы .$ $0 меньше \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x не равно 1 . конец системы .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 508109: 508156 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 96

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе