СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Последовательности и прогрессии

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д16 C7 № 505693

a1, a2, a3, ... – воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел. Из­вест­но, что для лю­бо­го Найти:

а) a100;

б) a1983.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.

2
Задания Д16 C7 № 505705

В бес­ко­неч­ной воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дое де­лит­ся хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не де­лит­ся на 97. Кроме того, каж­дые два со­сед­них числа от­ли­ча­ют­ся не более, чем на k. При каком наи­мень­шем k такое воз­мож­но?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

3
Задания Д16 C7 № 505717

Дана бесконечная последовательность чисел в которой при каждом член последовательности является корнем уравнения

1. Найдите наибольший порядковый номер члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2. Укажите наименьшее натуральное число среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3. Существует ли такое натуральное число что сумма идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 60.

4
Задания Д16 C7 № 505771

В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an – 1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а) число 1 встречается бесконечно много раз;

б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

5
Задания Д16 C7 № 505813

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а) наименьшее такое число,

б) все такие числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.

6
Задания Д16 C7 № 505863

Последовательность задана формулой где

а) Может ли число 15 являться членом последовательности?

б) Верно ли, что данная последовательность является бесконечной арифметической прогрессией?

в) Может ли последовательность являться геометрической прогрессией?

г) Могут ли три подряд идущих члена последовательности являться сторонами прямоугольного треугольника?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.

7
Задания Д16 C7 № 505881

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с це­ло­чис­лен­ны­ми сто­ро­на­ми.

а) Могут ли сто­ро­ны дан­но­го тре­уголь­ни­ка быть чле­на­ми одной воз­рас­та­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии?

б) До­ка­жи­те, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го n боль­ше­го 1, можно найти такие три числа, ко­то­рые будут яв­лять­ся сто­ро­на­ми этого тре­уголь­ни­ка и чле­на­ми одной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с раз­но­стью n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

8
Задания Д16 C7 № 505923

Не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, на­чи­ная с чет­но­го числа. Сумма не­чет­ных чле­нов про­грес­сии равна 33, чет­ных — 44. Най­ди­те эти числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

9
Задания Д16 C7 № 505959

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность чисел, в ко­то­рой пер­вый член равен 1, а каж­дый по­сле­ду­ю­щий в два раза мень­ше преды­ду­ще­го.

а) Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

б) Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.

10
Задания Д16 C7 № 505965

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, … вы­брать (со­хра­няя по­ря­док)

а) сто чисел,

б) бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность чисел, из ко­то­рых каж­дое, на­чи­ная с тре­тье­го, равно раз­но­сти двух преды­ду­щих

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

11
Задания Д16 C7 № 505971

В воз­рас­та­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сумма цифр чле­нов тоже об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Может ли в про­грес­сии быть:

а) 11 чле­нов;

б) бес­ко­неч­ное число чле­нов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

12
Задания Д16 C7 № 506079

В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, …. Под каждым числом этого ряда записана сумма его цифр.

а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?

б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

13
Задания Д16 C7 № 521411

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n > 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 207.

14
Задания Д16 C7 № 521423

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.

а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?

б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?

в) Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 208.

15
Задания Д16 C7 № 521445

Числовая последовательность задана формулой общего члена:

а) Найдите наименьшее значение n, при котором

 

б) Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

в) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 211.

16
Задания Д16 C7 № 521453

Даны n(n 3) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую

прогрессию.

а) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?

б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 48.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 212.

17
Задания Д16 C7 № 521813

Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2,...,bn,... состоит из различных натуральных чисел. Пусть

Пусть S1 = b1 и Sn = b1 + b2 +...+ bn при всех натуральных

а) Приведите пример такой прогрессии, для которой среди чисел S1, S2, S3, S4 ровно два числа делятся на 24.

б) Существует ли такая прогрессия, для которой среди чисел S1, S2, S3, S4 ровно три числа делятся на 24.

в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2,..., S8 может делиться на 24, если известно, что S1 на 24 не делится?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 233.

18
Задания Д16 C7 № 521820

На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних четырех чисел равно 12.

а) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?

в) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 234.

19
Задания Д16 C7 № 527199

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

а) Может ли в последовательности быть три члена?

б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 242.

20
Задания Д16 C7 № 527215

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 2800, и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 244.

21
Задания Д16 C7 № 527362

Конечная последовательность состоит из не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при в которой

б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 254.

22
Задания Д16 C7 № 527369

В последовательности натуральных чисел каждый следующий член равен произведению суммы цифр предыдущего члена и

а) Найдите пятый член последовательности.

б) Найдите 50‐й член последовательности.

в) Вычислите сумму первых пятидесяти членов этой последовательности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 255.

23
Задания Д16 C7 № 527406

Бесконечная арифметическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно три числа делятся на 24?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно 9 чисел делятся на 24?

в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел больше кратных 24, чем среди чисел если известно, что разность прогрессии равна 1?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 257.

24
Задания Д16 C7 № 527456

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вторично набор 1975;

в) набор 8197?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 262.

Пройти тестирование по этим заданиям