СДАМ ГИА






Каталог заданий. Последовательности и прогрессии
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д13 C7 № 505663

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.

2
Задания Д13 C7 № 505669

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию

а) длиной 4

б) длиной 5

в) длиной k, где k — любое натуральное число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

3
Задания Д13 C7 № 505693

a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что для любого Найти:

а) a100;

б) a1983.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.

4
Задания Д13 C7 № 505705

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более, чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

5
Задания Д13 C7 № 505717

Дана бесконечная последовательность чисел в которой при каждом член последовательности является корнем уравнения

1. Найдите наибольший порядковый номер члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2. Укажите наименьшее натуральное число среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3. Существует ли такое натуральное число что сумма идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 60.

6
Задания Д13 C7 № 505723

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 61.
Решение · ·

7
Задания Д13 C7 № 505735

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вторично набор 1975;

в) набор 8197?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

8
Задания Д13 C7 № 505741

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат

а) при n = 9,

б) при n = 11,

в) при n = 1996.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.

9
Задания Д13 C7 № 505771

В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an – 1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а) число 1 встречается бесконечно много раз;

б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

10
Задания Д13 C7 № 505813

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а) наименьшее такое число,

б) все такие числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.

11
Задания Д13 C7 № 505863

Последовательность задана формулой где

а) Может ли число 15 являться членом последовательности?

б) Верно ли, что данная последовательность является бесконечной арифметической прогрессией?

в) Может ли последовательность являться геометрической прогрессией?

г) Могут ли три подряд идущих члена последовательности являться сторонами прямоугольного треугольника?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.

12
Задания Д13 C7 № 505875

Есть набор чисел где Число имеет вид где — различные числа — среднее арифметическое всех чисел — целая часть от числа

а) Найти наименьшее возможное и наибольшее возможное число если

б) Найдите наименьшее при котором число больше 20.

в) Найдите при каком минимальном выполняется равенство

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

13
Задания Д13 C7 № 505881

Дан прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

а) Могут ли стороны данного треугольника быть членами одной возрастающей геометрической прогрессии?

б) Докажите, что для любого натурального n большего 1, можно найти такие три числа, которые будут являться сторонами этого треугольника и членами одной арифметической прогрессии с разностью n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

14
Задания Д13 C7 № 505923

Несколько натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию, начиная с четного числа. Сумма нечетных членов прогрессии равна 33, четных — 44. Найдите эти числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

15
Задания Д13 C7 № 505959

Дана бесконечная последовательность чисел, в которой первый член равен 1, а каждый последующий в два раза меньше предыдущего.

а) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна

б) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.

16
Задания Д13 C7 № 505965

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, … выбрать (сохраняя порядок)

а) сто чисел,

б) бесконечную последовательность чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

17
Задания Д13 C7 № 505971

В возрастающей арифметической прогрессии сумма цифр членов тоже образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Может ли в прогрессии быть:

а) 11 членов;

б) бесконечное число членов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

18
Задания Д13 C7 № 505977

Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….

а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?

б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?

в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.

19
Задания Д13 C7 № 506079

В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, …. Под каждым числом этого ряда записана сумма его цифр.

а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?

б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!