а)  Если груп­па со­сто­ит из 4 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 10 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков.

б)  Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 11 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 9 или мень­ше. Театр по­се­ти­ло не более 4 маль­чи­ков, по­сколь­ку если бы их было 5 или боль­ше, то доля маль­чи­ков в те­ат­ре была бы не мень­ше что боль­ше Ана­ло­гич­но, кино по­се­ти­ло не более 6 маль­чи­ков, по­сколь­ку но тогда хотя бы один маль­чик не по­се­тил ни те­ат­ра, ни кино, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе  — 10.

в)  Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик схо­дил и в театр, и в кино. Если бы вме­сто него в груп­пе при­сут­ство­ва­ло два маль­чи­ка, один из ко­то­рых по­се­тил толь­ко театр, а дру­гой  — толь­ко кино, то доля маль­чи­ков и в те­ат­ре, и в кино оста­лась бы преж­ней, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек в груп­пе можно счи­тать, что каж­дый маль­чик схо­дил или толь­ко в театр, или толь­ко в кино.

Пусть в груп­пе маль­чи­ков, по­се­тив­ших театр, маль­чи­ков, по­се­тив­ших кино, и d де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек в этой груп­пе. Будем счи­тать, что все де­воч­ки хо­ди­ли и в театр, и в кино, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля в те­ат­ре и в кино не умень­шит­ся.

Из усло­вия:

зна­чит, Тогда по­это­му доля де­во­чек в груп­пе:

Если груп­па со­сто­ит из 4 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 9 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в груп­пе равна

Ответ: а)  да; б)  10; в)

а)  Пер­вый игрок либо от­даст вто­ро­му две го­ро­ши­ны (на это вто­рой даст ему одну, и у пер­во­го не будет ходов), либо от­даст одну. В этом слу­чае вто­рой игрок может от­дать ему две го­ро­ши­ны, назад по­лу­чит три, от­даст че­ты­ре и по­бе­дит. Так или иначе вы­иг­ры­ва­ет вто­рой игрок.

б)  Если пер­вый игрок от­даст три или две, назад по­лу­чит одну и сразу про­иг­ра­ет. Если же от­даст одну, то назад по­лу­чит две. Далее у пер­во­го два ва­ри­ан­та хода, но оба плохи: отдав 4, он по­лу­чит назад 3 и про­иг­ра­ет, а отдав 3, по­лу­чит 4, будет вы­нуж­ден от­дать 5, по­лу­чит 6 и всё равно про­иг­ра­ет.

в)  По­бе­дит вто­рой игрок, при­дер­жи­ва­ясь пра­ви­ла: «вся­кий раз от­да­вай ми­ни­маль­но воз­мож­ное число го­ро­шин». До­ка­жем, что это дей­стви­тель­но вы­иг­рыш­ная стра­те­гия. До­ста­точ­но по­ка­зать, что у вто­ро­го иг­ро­ка все­гда будет ход. На­чи­на­ет игру у нас пер­вый игрок, но мы схит­рим и сде­ла­ем так, чтобы игру на­чи­нал вто­рой: пред­по­ло­жим, что вто­рой (услов­но) пе­ре­даёт сна­ча­ла пер­во­му 0  го­ро­шин. Те­перь можно ви­деть, что вся­кий раз в ответ на ход вто­ро­го пер­вый игрок вы­нуж­ден будет от­дать ему боль­ше, чем сам по­лу­чил. По­это­му ко­ли­че­ство го­ро­шин у вто­ро­го с каж­дым пар­ным ходом будет уве­ли­чи­вать­ся хотя бы на одну. Перед K-⁠м ходом у него будет не менее N + K го­ро­шин. А от­дать на K-⁠м ходу он в со­от­вет­ствии со своей стра­те­ги­ей дол­жен не более 2K го­ро­шин. Это осу­ще­стви­мо, по­сколь­ку более чем N ходов игра длить­ся не может, а зна­чит N + K ≥ 2K.

Ответ: а)  по­беж­да­ет вто­рой игрок; б)  по­беж­да­ет вто­рой игрок; в)  по­беж­да­ет вто­рой игрок.

а)  Да, мог. На­при­мер, если пер­вый с тре­тьим сыг­ра­ли 21 игру, вто­рой с тре­тьим  — 13 игр, а пер­вый со вто­рым  — 4 игры.

б)  Нет, не мог. Дей­стви­тель­но, в таком слу­чае общее число сыг­ран­ных пар­тий было бы равно (25 + 17 + 35)/⁠2  =  38,5 игр  — не целое число.

в)  Нет, не мог. Пусть такое воз­мож­но, тогда тре­тий игрок сыг­рал боль­ше пар­тий, чем пер­вый и вто­рой вме­сте взя­тые (25 + 17 < 56). Но дру­гих со­пер­ни­ков у тре­тье­го не могло быть, по­это­му по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

а)  Рас­по­ло­жим дву­знач­ные числа в клет­ках пря­мо­уголь­ни­ка вы­со­ты 9 и ши­ри­ны 10 (по го­ри­зон­та­ли от­кла­ды­ва­ем еди­ни­цы, по вер­ти­ка­ли  — де­сят­ки). Каж­дой по­пыт­ке Гриши со­от­вет­ству­ет кре­стик из пяти кле­ток: в цен­тре на­зван­ное им число, а по бокам че­ты­ре числа, от­ли­ча­ю­щи­е­ся в одной цифре на еди­ни­цу (если на­зван­ное число со­дер­жит цифру 0 или 9, не­ко­то­рые клет­ки кре­сти­ка вы­хо­дят за края пря­мо­уголь­ни­ка; таким клет­кам ни­ка­кие числа не со­от­вет­ству­ют). За­да­ча Гриши  — по­крыть пря­мо­уголь­ник 9 × 10 та­ки­ми кре­сти­ка­ми. Убе­дим­ся, что 18 кре­сти­ков ему не хва­тит. Сум­мар­ная пло­щадь кре­сти­ков равна 18 × 5  =  90, т. е. равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка. Но, по­кры­вая уг­ло­вую клет­ку, мы не­из­беж­но вый­дем за пре­де­лы пря­мо­уголь­ни­ка, и эта по­те­ря по­ме­ша­ет по­крыть весь пря­мо­уголь­ник.

б, в)  Решим сразу пункт в)  — убе­дим­ся, что 22 по­пы­ток хва­тит. По­кры­тие из 22 кре­сти­ков легко найти, если за­ме­тить, что кре­сти­ка­ми можно вы­ло­жить плос­кость без пе­ре­кры­тий (прав­да, придётся ещё до­ба­вить не­сколь­ко кре­сти­ков по краям пря­мо­уголь­ни­ка). На­при­мер, Гриша может на­звать числа 11, 13, 17, 25, 29, 30, 32, 37, 44, 49, 51, 56, 63, 68, 70, 75, 82, 87, 89, 90, 94, 97.

При­ме­ча­ние Алек­сандра Ива­но­ва.

Да­вай­те рас­смот­рим пред­ло­жен­ную кар­тин­ку. Пря­мо­уголь­ник за­мо­щен фи­гу­ра­ми раз­ной формы: крест (5 кле­ток), Т-⁠об­раз­ный (4 клет­ки), трех­кле­точ­ные (уг­ло­вые и пря­мые), двух­кле­точ­ные фи­гу­ры и две оди­ноч­ные клет­ки.

Услы­шав «хо­лод­но», мы (Гриша) сразу от­бра­сы­ва­ем все клет­ки на­зван­ной фи­гу­ры, услы­шав «тепло»,  — на­чи­на­ем про­ве­рять. Для про­вер­ки раз­ных фигур тре­бу­ет­ся раз­ное мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство до­пол­ни­тель­ных ходов: для кре­ста  — 3 хода, для Т-⁠об­раз­но­го и трех­кле­точ­ных фигур  — 2 хода, для двух­кле­точ­ных  — 1 ход.

Стра­те­гия со­сто­ит в сле­ду­ю­щем.

Сна­ча­ла на­зы­ва­ем числа, со­от­вет­ству­ю­щие кре­стам, по­сколь­ку для них тре­бу­ет­ся боль­ше про­ве­роч­ных ходов: 25, 32, 37, 44, 51, 56, 63, 68, 75, 82, 87 (всего 11 чисел). Если мы услы­ша­ли «тепло», то для уга­ды­ва­ния числа нам по­тре­бо­ва­лось мак­си­мум 11 + 3  =  14 ходов, если же всё время мы слы­ша­ли «хо­лод­но», то мы по­тра­ти­ли 11 ходов и ис­клю­чи­ли 55 чисел.

Далее на­зы­ва­ем числа, со­от­вет­ству­ю­щие Т-⁠об­раз­ным и трех­кле­точ­ным: 11, 13, 17, 29, 30, 49, 70, 89, 94 (таких чисел 9). Если мы те­перь услы­ша­ли «тепло», то для уга­ды­ва­ния числа нам по­тре­бо­ва­лось мак­си­мум 11 + 9 + 2  =  22 хода (Ура!!!), если же всё время мы и те­перь слы­ша­ли «хо­лод­но», то мы по­тра­ти­ли 11 + 9  =  20 ходов и ис­клю­чи­ли 55 + 31  =  86 чисел.

Далее на­зы­ва­ем число 90, это был два­дцать пер­вый ход. Если слы­шим «тепло», то про­ве­ря­ем одним ходом и от­га­ды­ва­ем число за 21 + 1  =  22 хода (Ура!!!), а если слы­шим «хо­лод­но», то вы­чер­ки­ва­ем еще 2 числа. Итого вы­черк­ну­то 86 + 2  =  88 чисел, за 21 ход. Оста­лось два не­вы­черк­ну­тых числа.

ФИНАЛ (по­след­ний, 22-⁠й ход): на­зы­ва­ем число 96. Если «тепло», то за­га­да­но число 96, если «хо­лод­но», то за­га­да­но число  98. УРА!!!

Таким об­ра­зом, Гриша (с нашей по­мо­щью), при пра­виль­ной стра­те­гии мак­си­мум за 22 хода обя­за­тель­но от­га­да­ет за­ду­ман­ное Лёшей дву­знач­ное число.

а)  Пусть в каж­дом Ле­ни­ном на­бо­ре l ручек, а у Юли u на­бо­ров. Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: По усло­вию у Лены не­чет­ное число ручек, зна­чит, не­чет­но, и, со­от­вет­ствен­но, l не­чет­но. За­ме­тим, что зна­чит, l де­лит­ся на 5. Кроме того, Зна­чит, оста­лось пе­ре­брать такие слу­чаи: Тогда со­от­вет­ствен­но,

б)  Ис­поль­зуя те же обо­зна­че­ния, по­лу­ча­ем урав­не­ние: До­ста­точ­но по­до­брать целые корни, боль­шие еди­ни­цы. На­при­мер, под­хо­дят числа

в)  Те­перь по­лу­ча­ем урав­не­ние: или До­ка­жем, что для лю­бо­го це­ло­го най­дут­ся целые корни боль­шие еди­ни­цы.

Раз­бе­рем не­сколь­ко слу­ча­ев. Пусть k де­лит­ся на 5. Тогда можно взять и ясно, что под­хо­дя­щее u най­дет­ся. Пусть k дает оста­ток 1 или 4 при де­ле­нии на 5. Тогда дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 5. Далее возь­мем l, да­ю­щее оста­ток 2 при де­ле­нии на 5. Тогда де­лит­ся на 5, и нуж­ное u су­ще­ству­ет. Пусть k дает оста­ток 2 или 3 при де­ле­нии на 5. Тогда дает оста­ток 4 при де­ле­нии на 5. Далее возь­мем l, да­ю­щее оста­ток 3 при де­ле­нии на 5. Тогда де­лит­ся на 5, и нуж­ное u су­ще­ству­ет.

Ответ: а)  18, 12, 6; б)  да; в)  да.