а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит, Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна

Ответ: а) да: б) 10; в)

а) Первый игрок либо отдаст второму две горошины (на это второй даст ему одну, и у первого не будет ходов), либо отдаст одну. В этом случае второй игрок может отдать ему две горошины, назад получит три, отдаст четыре и победит. Так или иначе выигрывает второй игрок.

б) Если первый игрок отдаст три или две, назад получит одну и сразу проиграет. Если же отдаст одну, то назад получит две. Далее у первого два варианта хода, но оба плохи: отдав 4, он получит назад 3 и проиграет, а отдав 3, получит 4, будет вынужден отдать 5, получит 6 и всё равно проиграет.

в) Победит второй игрок, придерживаясь правила: «всякий раз отдавай минимально возможное число горошин». Докажем, что это действительно выигрышная стратегия. Достаточно показать, что у второго игрока всегда будет ход. Начинает игру у нас первый игрок, но мы схитрим и сделаем так, чтобы игру начинал второй: предположим, что второй (условно) передаёт сначала первому 0 горошин. Теперь можно видеть, что всякий раз в ответ на ход второго первый игрок вынужден будет отдать ему больше, чем сам получил. Поэтому количество горошин у второго с каждым парным ходом будет увеличиваться хотя бы на одну. Перед K-ом ходом у него будет не менее N + K горошин. А отдать на K-ом ходу он в соответствии со своей стратегией должен не более 2K горошин. Это осуществимо, поскольку более чем N ходов игра длиться не может, а значит N + K ≥ 2K.

Ответ: а) Побеждает второй игрок; б) Побеждает второй игрок. в) Побеждает второй игрок

а) Да, мог. Например, если первый с третьим сыграли 21 игру, второй с третьим - 13 игр, а первый со вторым - 4 игры.

б) Нет, не мог. Действительно, в таком случае общее число сыгранных партий было бы равно (25 + 17 + 35)/2 = 38,5 игр — не целое число.

в) Нет, не мог. Пусть такое возможно, тогда третий игрок сыграл больше партий, чем первый и второй вместе взятые (25 + 17 < 56). Но других соперников у третьего не могло быть, поэтому получаем противоречие.

а) Расположим двузначные числа в клетках прямоугольника высоты 9 и ширины 10 (по горизонтали откладываем единицы, по вертикали – десятки). Каждой попытке Гриши соответствует крестик из пяти клеток: в центре названное им число, а по бокам четыре числа, отличающиеся в одной цифре на единицу (если названное число содержит цифру 0 или 9, некоторые клетки крестика выходят за края прямоугольника; таким клеткам никакие числа не соответствуют). Задача Гриши – покрыть прямоугольник 9 × 10 такими крестиками. Убедимся, что 18 крестиков ему не хватит. Суммарная площадь крестиков равна 18 × 5 = 90, т. е. равна площади прямоугольника. Но, покрывая угловую клетку, мы неизбежно выйдем за пределы прямоугольника, и эта потеря помешает покрыть весь прямоугольник.

б, в) Решим сразу пункт в) — убедимся, что 22 попыток хватит. Покрытие из 22 крестиков легко найти, если заметить, что крестиками можно выложить плоскость без перекрытий (правда, придётся ещё добавить несколько крестиков по краям прямоугольника). Например, Гриша может назвать числа 11, 13, 17, 25, 29, 30, 32, 37, 44, 49, 51, 56, 63, 68, 70, 75, 82, 87, 89, 90, 94, 97.

Примечание Александра Иванова.

Давайте рассмотрим предложенную картинку. Прямоугольник замощен фигурами разной формы: крест (5 клеток), Т-образный (4 клетки), трехклеточные (угловые и прямые), двухклеточные фигуры и две одиночные клетки.

Услышав «холодно», мы (Гриша) сразу отбрасываем все клетки названной фигуры, услышав «тепло», — начинаем проверять. Для проверки разных фигур требуется разное максимальное количество дополнительных ходов: для креста — 3 хода, для Т-образного и трехклеточных фигур — 2 хода, для двухклеточных — 1 ход.

Стратегия состоит в следующем.

Сначала называем числа, соответствующие крестам, так как для них требуется больше проверочных ходов: 25, 32, 37, 44, 51, 56, 63, 68, 75, 82, 87 (всего 11 чисел). Если мы услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 + 3 = 14 ходов, если же всё время мы слышали «холодно», то мы потратили 11 ходов и исключили 55 чисел.

Далее называем числа, соответствующие Т-образным и трехклеточным: 11, 13, 17, 29, 30, 49, 70, 89, 94 (таких чисел 9). Если мы теперь услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 + 9 + 2 = 22 хода (Ура!!!), если же всё время мы и теперь слышали «холодно», то мы потратили 11+9=20 ходов и исключили 55 + 31 = 86 чисел.

Далее называем число 90, это был двадцать первый ход. Если слышим «тепло», то проверяем одним ходом и отгадываем число за 21+1=22 хода (Ура!!!), а если слышим «холодно», то вычеркиваем еще 2 числа. Итого вычеркнуто 86 + 2 = 88 чисел, за 21 ход. Осталось два невычеркнутых числа.

ФИНАЛ (последний, 22-й ход): называем число 96. Если «тепло», то загадано число 96, если «холодно», то загадано число 98. УРА!!!

Таким образом, Гриша (с нашей помощью), при правильной стратегии максимум за 22 хода обязательно отгадает задуманное Лёшей двузначное число.

а) Пусть в каждом Ленином наборе ручек, а у Юли наборов. Тогда получаем уравнение: По условию у Лены нечетное число ручек, значит, нечетно, и, соответственно, нечетно. Заметим, что значит, делится на 5. Кроме того, Значит, осталось перебрать такие случаи: Тогда соответственно,

б) Используя те же обозначения, получаем уравнение: Достаточно подобрать целые корни, большие единицы. Например, подходят числа

в) Теперь получаем уравнение: или Докажем, что для любого целого найдутся целые корни большие единицы.

Разберем несколько случаев. Пусть делится на 5. Тогда можно взять и ясно, что подходящее найдется. Пусть дает остаток 1 или 4 при делении на 5. Тогда дает остаток 1 при делении на 5. Далее возьмем дающее остаток 2 при делении на 5. Тогда делится на 5, и нужное существует. Пусть дает остаток 2 или 3 при делении на 5. Тогда дает остаток 4 при делении на 5. Далее возьмем дающее остаток 3 при делении на 5. Тогда делится на 5, и нужное существует.

Ответ: а) 18, 12, 6; б) да; в) да.