СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 14 № 505566

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.


Аналоги к заданию № 505566: 511411 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
Решение · ·

2
Задание 14 № 508185

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом   Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Описанный шар, Четырехугольная пирамида

3
Задание 14 № 508179

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся рав­но­бо­кая тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 18 и 8. Каж­дое бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 60°.

а) До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка О (центр впи­сан­ной сферы), оди­на­ко­во уда­лен­ная ото всех гра­ней пи­ра­ми­ды.

б) Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти дан­ной пи­ра­ми­ды.


4
Задание 14 № 514026

В одном ос­но­ва­нии пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра с вы­со­той 12 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 6 про­ве­де­на хорда AB, рав­ная ра­ди­у­су ос­но­ва­ния, а в дру­гом его ос­но­ва­нии про­ведён диа­метр CD, пер­пен­ди­ку­ляр­ный AB. По­стро­е­но се­че­ние ABNM, про­хо­дя­щее через пря­мую AB пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой CD так, что точка C и центр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, в ко­то­ром про­ведён диа­метр CD, лежат с одной сто­ро­ны от се­че­ния.

а) До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли этого се­че­ния равны между собой.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CABNM.


Аналоги к заданию № 514026: 514045 517181 517219 524051 524073 Все


5
Задание 14 № 515801

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 9. (Часть C).

6
Задание 14 № 519642

Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре CC1 взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC.

 

a) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки A, B и M.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

7
Задание 14 № 519683

Вы­со­та ци­лин­дра равна 3, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 13.

а) По­строй­те се­че­ние ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но оси ци­лин­дра, так, чтобы пло­щадь этого се­че­ния рав­ня­лась 72.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до цен­тра ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

8
Задание 14 № 520190

Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

а) Докажите, что ABCD — квадрат.

б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен .


Аналоги к заданию № 520190: 520209 Все


9
Задание 14 № 520659

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.

а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.

б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, .


Аналоги к заданию № 520659: 520700 Все


10
Задание 14 № 520784

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что , .

а) Докажите, что угол между прямыми и равен .

б) Найдите объём цилиндра.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Угол между прямыми, Цилиндр

11
Задание 14 № 520803

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния — точки В1 и С1, при­чем ВВ1 — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС1 пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а) До­ка­жи­те, что угол АВС1 пря­мой.

б) Най­ди­те угол между пря­мы­ми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.


Аналоги к заданию № 520803: 520853 520879 520915 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018

12
Задание 14 № 520846

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки , а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния — точка , причём — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но,что , .

а) До­ка­жи­те,что угол между пря­мы­ми и равен .

б) Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018

13
Задание 14 № 520869

В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а AC1 пересекает его ось цилиндра.

а) Докажите, что угол C1BA = 90°.

б) Найдите площадь боковой поверхности, если AB = 16, BB1 = 5, B1C1 = 12.

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Ос­нов­ная волна. Дальний Восток. (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018

14
Задание 14 № 520938

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния — точки В1 и С1, при­чем ВВ1 — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС1 пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а) До­ка­жи­те, что угол АВС1 пря­мой.

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.


Аналоги к заданию № 520938: 520945 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 325 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018

15
Задание 14 № 521005

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния — точка C1 причём CC1 — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а) До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BC и AC1 равен

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до AC1.

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 25.06.2018. Вариант 557 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018

16
Задание 14 № 525378

В конусе с вершиной S и центром основания O радиус основания равен 13, а высота равна Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.

а) Докажите что ANO — прямой угол.

б) Найдите угол между MB и плоскостью основания, если дополнительно известно что AB = 10.

Источник: ЕГЭ — 2019. До­сроч­ная волна. Резервный день 10.04.2019, За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2019

17
Задание 14 № 526830

Точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, при­чем A и C диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Точка M — се­ре­ди­на BC.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая SM об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ABC такой же угол, как и пря­мая AB с плос­ко­стью SBC.

б) Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC, если AB = 6, BC = 8 и AS = 


Аналоги к заданию № 526830: 526895 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Конус, Угол между прямой и плоскостью

18
Задание 14 № 526913

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково удаленная ото всех вершин пирамиды.

б) Найдите радиус данной сферы, если дополнительно известно, что основания трапеции равны 8 и 18, а ее боковая сторона равна 13.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Описанный шар, Четырехугольная пирамида

19
Задание 14 № 527158

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна Точка M — середина образующей SA конуса, а точку N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите что  — прямой.

б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB = 8.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2019

Пройти тестирование по этим заданиям