Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Второй случай: 
при условии 
Получаем:
То есть в этом случае x = −2a при 
Корень уравнения x = −2a принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
Получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a     но неверно определены промежутки значений aИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков   или  возможно, с исключением граничных точек | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Второй случай: 
при условии 
Получаем:
Тогда
То есть в этом случае x = −2a при 
Корень уравнения x = −2a принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения 
и совпадают при 
Получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 1 корень.
Перенесем выражение из правой части в левую и вынесем общий множитель за скобку:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Корни 
и 
совпадают при 
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение
— при 
не имеет корней;
— при 
имеет один корень 
— при 
имеет два корня 
и 
— при 
имеет один корень 
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при и 
Ответ: 
Приведём графическое решение.
Исходное уравнение равносильно системе
В системе координат xOa графиком полученной системы (выделено оранжевым) является объединение отрезка AC (отрезок прямой между прямыми a = −2x и a = 2x) и луча с началом в точке B (часть прямой 
лежащая правее прямой 
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графика с горизонтальной прямой. Ровно одно пересечение будет при и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Корни 
и 
совпадают при 
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение:
— при 
не имеет корней;
— при 
имеет один корень 
— при 
имеет два корня 
и 
— при 
имеет один корень 
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Корень уравнения x = −2a принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения и совпадают при 
Получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке [0; 1] ровно один корень.
Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
при условиях
Получаем 
Условия принимают вид
откуда 
То есть в этом случае 
при
Второй случай: 
при условии 
Получаем:
откуда 
Условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
при
Корень уравнения принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения и совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет на отрезке 
ровно один корень при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью-верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a     но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков   или  возможно, с исключением граничных точек | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх