PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 40 °C до температуры 60 °C.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён угол BOA. Найдите тангенс этого угла.
Фабрика выпускает кепки. В среднем 7 кепок из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная кепка окажется без дефектов.
Найдите корень уравнения 
В прямоугольном треугольнике ABC угол С равен 
Найдите BС.
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите ординату точки касания.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите значение выражения 
Трактор тащит сани с силой F = 40 кН, направленной под острым углом 
к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 200 м вычисляется по формуле 
При каком максимальном угле (в градусах) совершенная работа будет не менее 4000 кДж?
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 6 минут, второй и третий — за 7 минут, а первый и третий — за 21 минуту. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость 
параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .
Решите неравенство 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и 
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
не больше 3.
После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?
б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?
в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?
из них корнем первого уравнения является только число 0. Тем самым, абсцисса точки касания равна 0, а тогда ее ордината равна 4. 
:
Уравнение 
не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является 
на заданном отрезке лежит только одно число — 
б) 
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника FLN и, следовательно, 
откуда и следует доказываемое утверждение.
Поскольку KLMN ― квадрат, то NH ⊥ KM, но тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, и DH ⊥ KM. Таким образом, 
― линейный угол двугранного угла 
Из прямоугольного треугольника DNH находим 
откуда получаем 
На этом множестве 
и данное неравенство равносильно неравенству
где 
получаем неравенство 
Заметим, что при 
функция 
возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и 
Таким образом, множество решений этого неравенства задаётся двойным неравенством 
что и требовалось доказать.
BK = 
Таким образом, AK : KB = 5 : 7.
разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при 
значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) 
где 
и 
— абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.
и 
или 
и 
Абсциссы их вершин соответственно 
не больше 3 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств: 
получаем совокупность неравенств:
получаем 
но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют
и 
а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.
Чтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь 
при условии, что 
равно 4. Результат 4 достигается, если 
то очевидно, что 
то либо k = 1, что не подходит, так как дроби 
не являются натуральными числами, либо 
и в этом случае 