В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость 
параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .
Пусть четырёхугольник ELGF — сечение данной призмы плоскостью α (см. рис.). Прямая KM параллельна плоскости α, а плоскость KMG пересекает плоскость α по прямой EG, следовательно, EG || KM и, значит, KMGE — прямоугольник. Прямые NL и KM являются соответственно проекциями прямых FL и EG на плоскость KLM, значит, точка пересечения прямых KM и NL (точка H) является проекцией точки пересечения прямых FL и EG (точки O) на эту плоскость. Таким образом, 
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника FLN и, следовательно, 
откуда и следует доказываемое утверждение.
б) Пусть точка D ― середина отрезка FN. Тогда EK = FD и EK || FD, следовательно, EKDF ― параллелограмм и, значит, EF || KD. Так как и EG || KM , то (KDM) || (EFG) и, значит, 
Поскольку KLMN ― квадрат, то NH ⊥ KM, но тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, и DH ⊥ KM. Таким образом, 
― линейный угол двугранного угла 
Из прямоугольного треугольника DNH находим 
Ответ: б) 