СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513714

В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.

а) Докажите, что плоскость делит ребро NN1 пополам.

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .

Решение.

Пусть четырёхугольник ELGF — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок). Прямая KM параллельна плоскости α, а плоскость KMG пересекает плоскость α по прямой EG, следовательно, EG || KM и, значит, KMGE — прямоугольник. Прямые NL и KM являются соответственно проекциями прямых FL и EG на плоскость KLM, значит, точка пересечения прямых KM и NL (точка H) является проекцией точки пересечения прямых FL и EG (точки O) на эту плоскость. Таким образом, C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника FLN и, следовательно, откуда и следует доказываемое утверждение.

б) Пусть точка D ― середина отрезка FN. Тогда EK = FD и EK || FD, следовательно, EKDF ― параллелограмм и, значит, EF || KD. Так как и EG || KM , то (KDM) || (EFG) и, значит, Поскольку KLMN ― квадрат, то NH ⊥ KM, но тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, и DH ⊥ KM. Таким образом, ― линейный угол двугранного угла Из прямоугольного треугольника DNH находим

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 513684: 513714 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.