PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8. Найдите длину стороны CD.
ИЛИ
Площадь треугольника ABC равна 60, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
ИЛИ
В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите величину угла ADB. Ответ дайте в градусах.
На координатной плоскости изображены векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
ИЛИ
Даны векторы 
Найдите длину вектора 
ИЛИ
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
ИЛИ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 9, BC = 6, AA1 = 5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1.
ИЛИ
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 18. Найдите объем шара.
В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».
ИЛИ
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше
ИЛИ
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
ИЛИ
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
ИЛИ
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
| Выигрыш (в рублях) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Найдите корень уравнения 
ИЛИ
Найдите корень уравнения 
ИЛИ
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
ИЛИ
Найдите значение выражения 
ИЛИ
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен 
—
ИЛИ
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
ИЛИ
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью υ0 = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь 
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ выразите в секундах.
ИЛИ
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C = 8 · 10–6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 5 · 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 56 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением 
где α = 1,5 — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.
ИЛИ
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 
где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 километра, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
ИЛИ
Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?
ИЛИ
Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?
На рисунке изображён график функции 
Найдите f(10).
ИЛИ
На рисунке изображены графики функций видов 
и 
пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ИЛИ
На рисунке изображен график функции вида
Найдите значение f(−3).
В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
ИЛИ
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
ИЛИ
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Решите неравенство 
ИЛИ
Решите неравенство 
На заводе имеется генератор с ЭДС 
и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: 
Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: 
Какая максимальная тепловая мощность P может быть выделена нагрузкой?
ИЛИ
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой
где k = 0,91 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 9° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 14,7 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,0792 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка BC, BO = 1 и AC = 6.
ИЛИ
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите NO, если AB = 24 и AC = 10.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей.
а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 175?
б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 176?
в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно?
ИЛИ
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше –120.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Следовательно,
Угол BDA — внешний угол треугольника ADC , следовательно,
Скалярное произведение векторов равно:
и 
Площадь этого треугольника равна 27. Следовательно, объем пирамиды равен
Выразим из формулы для объёма цилиндра R3 и подставим в формулу для объёма шара
спортсменов.
и 
поскольку события 
функция имеет одну точку минимума 
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе
сопротивления резистора 
и ёмкости конденсатора 
при известном значении длины пути 
Первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, отсюда получаем:
Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты: 
Решим полученную систему уравнений:
деталей.
тогда 
откуда 
Таким образом, 
откуда 
Составим систему уравнений и найдем коэффициенты a и b:
к оси абсцисс, тогда 
Следовательно, линейная функция имеет вид 
и 
Таким образом, прямая BC перпендикулярна прямым MH и BF соответственно, а потому прямая BC перпендикулярна плоскости BMF. Плоскость основания пирамиды SABCDEF пересекается с плоскостью BMC по прямой BC, поэтому 
Следовательно,
то есть прямые MK и BD параллельны, а треугольники MAK и BAD подобны с коэффициентом 
площади треугольника BAD, а площади трапеции BMKD и треугольника MAK относятся как 5 : 4. Таким образом, объёмы многогранников CBMKD и CMAK относятся как 5 : 4.
то есть при 
Преобразуем неравенство при этом ограничении:
тогда 
откуда получаем:
Подставив заданные значения ε и r, получим функцию 
Найдём производную этой функции:
при 
Производная положительна при 
и отрицательна при 
Следовательно, функция 
и убывает на луче 
Таким образом, функция 
подставляя величину ЭДС из условия, находим:
Вт.
то есть при 
Таким образом, наибольшая тепловая мощность 
при 
составляет всего 50%, то есть половина мощности теряется. Поэтому на практике согласование используют только цепях, где мощность сигнала важнее экономии энергии: в слаботочных радиотехнических цепях, акустических системах, радиосвязи, на телебашнях. В таких устройствах потери в виде тепла на передатчике — это плата за мощность сигнала.
поэтому наибольшее значение величин A и A2 достигаются в одной точке. Пусть 
достаточно исследовать на экстремум функцию 
где
положителен. Найдём производную:
и знаменатель положительны, поэтому производная обращается в нуль только если 
откуда 
По условию, 
а потому 
при 
при 
поэтому точка x0 — точка максимума функции f. Следовательно, амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей, если
Следовательно,
откуда
и 
Пусть точка M — середина отрезка AC, тогда отрезок OM является медианой прямоугольного треугольника AOC, проведённой к гипотенузе. Следовательно, 
Таким образом, по теореме Пифагора для треугольника BCM получаем:
и 
Проекция катета на гипотенузу равна отношению квадрата длины этого катета к длине гипотенузе, поэтому 
откуда
гиперболу 
ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность 
с центром в точке с координатами 
и радиусом 1. Найдем точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы: 
то есть 
Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: 
то есть 
откуда 
Изобразим получившиеся множества.
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая проходит через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая 
является асимптотой гиперболы, но проходит через точку пересечения вертикальной прямой и окружности и еще одну точку на окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случай единственного решения обозначен на рисунке красным, случаи двух решений — синим, случаи трех решений — зеленым, случаи четырех решений — фиолетовым.
и 
заданных на объединении лучей 
то есть при 
прямая (1) имеет с нижней частью графика уравнения (2) ровно две точки пересечения. Чтобы прямая не имела общих точек с верхней частью графика, уравнение 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
и 
то есть 
то прямая имеет ровно одну точку пересечения с нижней частью графика уравнения (2) и ровно одну точку пересечения с верхней частью графика, то есть исходная система имеет ровно два решения.
то есть при 
прямая имеет ровно две точки пересечения с верхней частью графика уравнения (2). Чтобы прямая не имела общих точек с нижней частью графика, уравнение 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
рублей.
монет.
Если же нужно представить сумму S от 150 до 180 рублей, то выберем монеты общей суммой
красных карточек, то наибольшее число, написанное на красной карточке, не меньше 
Это число не может быть равно удвоенному количеству синих карточек.
то есть 
и 
Таким образом, на столе может лежать не больше 150 карточек.