Ис­поль­зуя дан­ные в усло­вии фор­му­лы, вы­ра­зим вы­де­ля­е­мую теп­ло­вую мощ­ность через ЭДС и со­про­тив­ле­ние: Под­ста­вив за­дан­ные зна­че­ния ε и r, по­лу­чим функ­цию Найдём про­из­вод­ную этой функ­ции:

Со­про­тив­ле­ние на­груз­ки не может быть от­ри­ца­тель­ным, по­это­му будем рас­смат­ри­вать по­ве­де­ние функ­ции при Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, функ­ция воз­рас­та­ет на от­рез­ке и убы­ва­ет на луче Таким об­ра­зом, функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке 1. Наи­боль­шая теп­ло­вая мощ­ность, ко­то­рая может вы­де­лять­ся на­груз­кой, равна 625 Вт.

Ответ: 625 Вт.

При­ме­ча­ния Дмит­рия Гу­щи­на.

1. Зна­ю­щий фи­зи­ку чи­та­тель решит эту за­да­чу проще: мак­си­маль­ная теп­ло­вая мощ­ность вы­де­ля­ет­ся, если со­про­тив­ле­ние на­груз­ки равно внут­рен­не­му со­про­тив­ле­нию ис­точ­ни­ка. При под­став­ляя ве­ли­чи­ну ЭДС из усло­вия, на­хо­дим:

Без до­ка­за­тель­ства этот факт при­во­дит­ся, на­при­мер, в учеб­ни­ке фи­зи­ки для 11 клас­са А. В. Гра­че­ва. До­ка­жем ниже.

2. Решим за­да­чу в общем виде. В вы­ра­же­нии для мощ­но­сти раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на R, по­лу­чим:

Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби по­ло­жи­тель­ны, а тогда при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии чис­ли­те­ля, наи­боль­шее зна­че­ние дроби до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем зна­че­нии зна­ме­на­те­ля. Ис­поль­зуя не­ра­вен­ство о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем гео­мет­ри­че­ском, по­лу­ча­ем оцен­ку:

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, если то есть при Таким об­ра­зом, наи­боль­шая теп­ло­вая мощ­ность равна

3. Для ин­те­ре­су­ю­щих­ся чи­та­те­лей от­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия ис­точ­ни­ка при со­став­ля­ет всего 50%, то есть по­ло­ви­на мощ­но­сти те­ря­ет­ся. По­это­му на прак­ти­ке со­гла­со­ва­ние ис­поль­зу­ют толь­ко цепях, где мощ­ность сиг­на­ла важ­нее эко­но­мии энер­гии: в сла­бо­точ­ных ра­дио­тех­ни­че­ских цепях, аку­сти­че­ских си­сте­мах, ра­дио­свя­зи, на те­ле­баш­нях. В таких устрой­ствах по­те­ри в виде тепла на пе­ре­дат­чи­ке  — это плата за мощ­ность сиг­на­ла.

Од­на­ко вовсе не редко по­сту­па­ют на­о­бо­рот. В мощ­ных ис­точ­ни­ках, на­при­мер, в ге­не­ра­то­рах элек­тро­стан­ций, на ли­ни­ях элек­тро­пе­ре­дач, в лам­пах на­ка­ли­ва­ния, за­ряд­ках для те­ле­фо­нов и но­ут­бу­ков внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ис­точ­ни­ка де­ла­ют как можно более малым, чтобы со­про­тив­ле­ние на­груз­ки было много боль­ше внут­рен­не­го со­про­тив­ле­ния ис­точ­ни­ка, а по­то­му и КПД был вы­со­ким. В этих слу­ча­ях эко­но­ми­че­ски це­ле­со­об­раз­но от­ка­зать­ся от мак­си­му­ма мощ­но­сти в поль­зу по­вы­ше­ния КПД, чтобы, как об­раз­но ска­за­ла бы ней­ро­сеть «не греть воз­дух вме­сто того, чтобы кру­тить мотор».

Крат­ко можно было бы ска­зать так: мак­си­мум мощ­но­сти ха­рак­те­рен для пе­ре­да­чи ин­фор­ма­ции, а наи­боль­ший КПД  — при пе­ре­да­че энер­гии.

Зна­че­ние ам­пли­ту­ды по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние ве­ли­чин A и A² до­сти­га­ют­ся в одной точке. Пусть до­ста­точ­но ис­сле­до­вать на экс­тре­мум функ­цию где

Зна­ме­на­тель при по­ло­жи­те­лен. Найдём про­из­вод­ную:

от­ку­да после пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

На об­ла­сти опре­де­ле­ния со­мно­жи­тель и зна­ме­на­тель по­ло­жи­тель­ны, по­это­му про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль толь­ко если от­ку­да По усло­вию, а по­то­му при при по­это­му точка x₀  — точка мак­си­му­ма функ­ции f. Сле­до­ва­тель­но, ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля будет наи­боль­шей, если

Ответ: 15.