а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка M  — се­ре­ди­на ребра AB. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная плос­ко­сти SBC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро SD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на ребра SD.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SABCD, если AB  =  24, а угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 30°.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2028 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тысяч руб­лей на три года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на 70% мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2031 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 11 502 тысяч руб­лей. Най­ди­те S.

Окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а также его вы­со­ты CH.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если BO  =  7, AC  =  16.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1200 –⁠ N) монет по 5 руб­лей (N  — на­ту­раль­ное число от 1 до 1199). Ока­за­лось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, на­бран­ная этими мо­не­та­ми, будет не мень­ше чет­вер­ти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N рав­нять­ся 400?

б)  Может ли N рав­нять­ся 600?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных зна­че­ний может при­ни­мать число N?