а)  Пусть Сле­до­ва­тель­но,

Луч CO  — бис­сек­три­са угла BCH, по­это­му от­ку­да

Луч НО  — бис­сек­три­са пря­мо­го угла BHC, от­сю­да и

Таким об­ра­зом, сумма углов AHO и ACO четырёхуголь­ни­ка AHOC равна 180°, а по­то­му около него можно опи­сать окруж­ность. Сле­до­ва­тель­но,

б)  Около че­ты­рех­уголь­ни­ка AHOC можно опи­сать окруж­ность, по­это­му по­лу­ча­ем Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AC, тогда от­ре­зок OM яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOC, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе. Сле­до­ва­тель­но,

От­ре­зок BM  — ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му от­ре­зок BM яв­ля­ет­ся его вы­со­той и бис­сек­три­сой, то есть центр O окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник CBH, лежит на от­рез­ке BM. Сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка BCM по­лу­ча­ем:

Ответ: б)  5.

а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, по­то­му что эта точка рав­но­уда­ле­на от пря­мых AN и BN. Пусть пря­мая AB пе­ре­се­ка­ет пря­мую NO в точке M. От­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку луч NM  — бис­сек­три­са угла ANB, тогда тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Таким об­ра­зом, углы AMN и BMN  — равны и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны 90°.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. Хорда BC  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му угол BAC  — пря­мой, то есть пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой NO  — бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, тогда и Про­ек­ция ка­те­та на ги­по­те­ну­зу равна от­но­ше­нию квад­ра­та длины этого ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зе, по­это­му

Ответ: б)  33,8.