PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?
б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 62?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?
б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –32. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –80. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным 5?
б) Может ли количество красных карт быть равным 200?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
На столе лежит N монет по 2 рубля и (1000 – N) монет по 5 рублей (N — натуральное число от 1 до 999). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли N равняться 100?
б) Может ли N равняться 500?
в) Сколько различных значений может принимать число N?
На столе лежит N монет по 2 рубля и (800 – N) монет по 5 рублей (N — натуральное число от 1 до 799). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли N равняться 200?
б) Может ли N равняться 400?
в) Сколько различных значений может принимать число N?
На столе лежит N монет по 2 рубля и (1200 – N) монет по 5 рублей (N — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли N равняться 400?
б) Может ли N равняться 600?
в) Сколько различных значений может принимать число N?
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?
Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 80 и не больше 170. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть 40 различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть 80 различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.
Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 60 и не больше 130. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть 35 различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть 60 различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.
На доске записано некоторое натуральное число N. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
— умножить число на 4;
— прибавить к числу 12;
— если число не равно 9, то вычеркнуть из числа цифру 9.
Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа 47 число 2?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа 7 число 77?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших 2015, может быть записано на доске, если N = 3.
сотен,
десятков
единиц.
и 
Если сумма цифр равна или превышает 2, то обозначим ее a. Тогда наименьшее из таких чисел — как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем 
Получаем, что искомое число равно 11.
сотен,
сотен,
Противоречие. 
Противоречие. 
и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, 
и не меньше n, то есть верно
то нужно взять N монет по 2 рубля и 
монет по 5 рублей. В этом случае условие задачи сводится к неравенству:
то нужно взять 300 монет по 2 рубля. Их сумма равна 600, значит, общая сумма денег на столе
Подходят числа от 867 до 999, их 
В частности, 
не подходит.
неравенство верно:
неравенство верно:
неравенство верно:
неравенство верно:
а при второй — уменьшается на 
числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:
тогда 
Наименьшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 15, а вторую — 30. Следовательно, сумма всех чисел не меньше
cуществует пример: с двадцатью четырьмя числами 15 проделаем первую операцию, а с двадцатью числами 30 проделаем вторую операцию, при этом