РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 89894916

Задания 19 ЕГЭ–2026

а)  Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

а)  Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

а)  Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?

б)  Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 62?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б)  Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –⁠32. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных  — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а)  Может ли количество синих карт быть равным 1?

б)  Может ли количество синих карт быть равным 40?

в)  Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение. а)  Если количество синих карт равно 1, то максимальное число на красных картах равно 3, что не делится на 8, поэтому количество синих карт не равно 1.

б)  Если количество синих карт равно 40, то максимальное число на красных картах равно 120, поэтому из интервала  $левая круглая скобка минус 32; 120 правая квадратная скобка$ взято не более 19 чисел, кратных 8. Числа на синих картах делятся на 5, а максимальное число на синих картах равно количеству красных карт, поэтому было взято 5, 10 или 15 чисел для красных карт, но даже в интервале  $левая круглая скобка минус 32; 15 правая квадратная скобка$ нет 40 чисел, кратных 5. Следовательно, 40 синих карт быть не может.

в)  Пусть синих карт n, тогда максимальное число на красных картах равно 3n, при этом оно делится на 8, то есть n делится на 8. Количество чисел, кратных 8, в интервале  $левая круглая скобка минус 32; 3n правая квадратная скобка$ равно $дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4,$ и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, в интервале  $левая круглая скобка минус 32; дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 правая квадратная скобка$ количество чисел, кратных 5, не больше $дробь: числитель: дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 7$ и не меньше n, то есть верно

$дробь: числитель: дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 7 больше или равно n равносильно дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 больше или равно 5n минус 35 равносильно дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно 5n минус 39 равносильно$
$равносильно 3n больше или равно 40n минус 312 равносильно 37n меньше или равно 312 равносильно n меньше или равно целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37 .$ $дробь: числитель: дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 7 больше или равно n равносильно дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 больше или равно 5n минус 35 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3n, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно 5n минус 39 равносильно 3n больше или равно 40n минус 312 равносильно$
$равносильно 37n меньше или равно 312 равносильно n меньше или равно целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37 .$

Число n делится на 8, поэтому максимальное n равно 8. Такой случай возможен, если, например, на синих картах написаны числа –⁠30, –⁠25, –⁠20, –⁠15, –⁠10, –⁠5, 0, 5, а на красных  — числа –⁠24, –⁠16, –⁠8, 8, 24.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  8.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –⁠30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных  — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а)  Может ли количество синих карт быть равным 1?

б)  Может ли количество синих карт быть равным 40?

в)  Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение. а)  Если количество синих карт равно 1, то максимальное число на красных картах равно 3. Возьмём одну синюю карту с числом 5 и пять красных карт с числами –⁠9, –⁠6, –⁠3, 0, 3.

б)  Если количество синих карт равно 40, то максимальное число на красных картах равно 120, поэтому из интервала  $левая круглая скобка минус 30; 120 правая квадратная скобка$ взято не более 50 чисел, кратных 3. Числа на синих картах делятся на 5, а максимальное число на синих картах равно количеству красных карт, поэтому было взято 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 или 50 чисел для красных карт, но даже в интервале  $левая круглая скобка минус 30; 50 правая квадратная скобка$ нет 40 чисел, кратных 5. Следовательно, 40 синих карт быть не может.

в)  Пусть синих карт n, тогда максимальное число на красных картах равно 3n. Количество чисел, кратных 3, в интервале  $левая круглая скобка минус 30; 3n правая квадратная скобка$ равно $n плюс 10,$ и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, в интервале  $левая круглая скобка минус 30; n плюс 10 правая квадратная скобка$ количество чисел, кратных 5, не больше $дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: 5 конец дроби плюс 6$ и не меньше n, то есть верно

$дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: 5 конец дроби плюс 6 больше или равно n равносильно дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: 5 конец дроби больше или равно n минус 6 равносильно n плюс 10 больше или равно 5n минус 30 равносильно 4n меньше или равно 40 равносильно n меньше или равно 10.$ $дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: 5 конец дроби плюс 6 больше или равно n равносильно дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: 5 конец дроби больше или равно n минус 6 равносильно$
$равносильно n плюс 10 больше или равно 5n минус 30 равносильно 4n меньше или равно 40 равносильно n меньше или равно 10.$

Такой случай возможен, если, например, на синих картах написаны числа –⁠25, –⁠20, –⁠15, –⁠10, –⁠5, 0, 5, 10, 15, 20, а на красных  — числа –⁠27, –⁠24, –⁠21, ..., 27, 30.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –⁠80. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных  — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а)  Может ли количество красных карт быть равным 5?

б)  Может ли количество красных карт быть равным 200?

в)  Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Решение. а)  Если количество красных карт равно 5, то максимальное число на синих картах равно 5. Возьмём одну синюю карту с числом 5 и пять красных карт с числами –⁠6, –⁠4, –⁠2, 0, 2.

б)  Если количество красных карт равно 200, то максимальное число на синих картах равно 200, поэтому из интервала  $левая круглая скобка минус 80; 200 правая квадратная скобка$ взято не более 56 чисел, кратных 5. Следовательно, наибольшее число на красной карте не превосходит 112, но даже в интервале  $левая круглая скобка минус 80; 112 правая квадратная скобка$ нет 200 чисел, кратных 2. Следовательно, 200 красных карт быть не может.

в)  Пусть красных карт n, тогда максимальное число на синих картах равно n, при этом n делится на 5. Количество чисел, кратных 5, в интервале  $левая круглая скобка минус 80; n правая квадратная скобка$ равно $дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби плюс 16,$ и если удвоить это число, то получится число, не меньшее максимального числа на красных картах. Следовательно, даже в интервале  $левая круглая скобка минус 80; дробь: числитель: 2n, знаменатель: 5 конец дроби плюс 32 правая квадратная скобка$ количество чисел, кратных 2, не больше $дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби плюс 16 плюс 40$ и не меньше n, то есть верно

$дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби плюс 16 плюс 40 больше или равно n равносильно дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби больше или равно n минус 56 равносильно n больше или равно 5n минус 280 равносильно 4n меньше или равно 280 равносильно n меньше или равно 70.$

Такой случай возможен, если, например, на синих картах написаны числа –⁠75, –⁠70, –⁠65, ..., 65, 70, а на красных  — числа –⁠78, –⁠76, –⁠74, ..., 58, 60.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  70.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

10.  

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1000 –⁠ N) монет по 5 рублей (N  — натуральное число от 1 до 999). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N равняться 100?

б)  Может ли N равняться 500?

в)  Сколько различных значений может принимать число N?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

11.  

На столе лежит N монет по 2 рубля и (800 –⁠ N) монет по 5 рублей (N  — натуральное число от 1 до 799). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N равняться 200?

б)  Может ли N равняться 400?

в)  Сколько различных значений может принимать число N?

Решение. а)  Для начала проверим, будет ли выполняться неравенство, если взять максимальное число двоек в сумме 300 монет:

$900 = 200 умножить на 2 плюс 100 умножить на 5 больше дробь: числитель: 200 умножить на 2 плюс 600 умножить на 5, знаменатель: 4 конец дроби = 850.$

Далее заметим, что если в сумме 500 монет заменить двойку на пятерку, то сумма слева увеличится на 3, а сумма справа останется неизменной. Следовательно, раз при наибольшем количестве двоек неравенство верно, то и при любом другом наборе монет условие задачи будет выполнено. Значит, N может равняться 200.

б)  Приведем пример набора из 300 монет, при котором условие не выполняется. Возьмем только двойки. В этом случае:

$600 = 300 умножить на 2 меньше дробь: числитель: 400 умножить на 2 плюс 400 умножить на 5, знаменатель: 4 конец дроби = 700.$

Значит, N не может равняться 400.

в)  Рассмотрим два случая: N больше 0 и не больше 300 и N больше 300 и меньше 800. В обоих случаях будем брать наименьшую возможную сумму 300 монет, то есть брать наибольшее количество двоек. Запишем условие для первого случая:

$2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 4000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 6000 минус 20N минус 4000 больше или равно 0 равносильно 9N меньше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 222.$ $2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 4000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 6000 минус 20N минус 4000 больше или равно 0 равносильно 9N меньше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 222.$ $2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 4000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 6000 минус 20N минус 4000 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 9N меньше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 222.$

При $N = 222$ неравенство верно:

$834 = 2 умножить на 222 плюс 5 умножить на 78 больше дробь: числитель: 2 умножить на 222 плюс 5 умножить на 578, знаменатель: 4 конец дроби = 833,5.$

Далее заметим, что при уменьшении N на 1 сумма слева увеличится на 3, а справа  — на 0,75. Следовательно, все N от 1 до 222 подходят.

Рассмотрим второй случай. В этом случае наименьшая сумма из 300 монет будет состоять только из двоек:

$2 умножить на 300 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2N плюс 4000 минус 5N меньше или равно 2400 равносильно 3N больше или равно 1600 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 534.$ $2 умножить на 300 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2N плюс 4000 минус 5N меньше или равно 2400 равносильно$
$равносильно 3N больше или равно 1600 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 534.$ $2 умножить на 300 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 800 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 2N плюс 4000 минус 5N меньше или равно 2400 равносильно$
$равносильно 3N больше или равно 1600 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 534.$

При $N = 534$ неравенство верно:

$600 = 2 умножить на 300 больше дробь: числитель: 2 умножить на 534 плюс 5 умножить на 266, знаменатель: 4 конец дроби = 599,5.$

Далее заметим, что при увеличении N на 1 сумма слева останется неизменной, а справа уменьшится. Следовательно, все N от 534 до 799 подходят. Таким образом, количество подходящих N равно $222 плюс 799 минус 533 = 488.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  488.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

12.  

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1200 –⁠ N) монет по 5 рублей (N  — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N равняться 400?

б)  Может ли N равняться 600?

в)  Сколько различных значений может принимать число N?

Решение. а)  Для начала проверим, будет ли выполняться неравенство, если взять максимальное число двоек в сумме 500 монет:

$1300 = 400 умножить на 2 плюс 100 умножить на 5 больше дробь: числитель: 400 умножить на 2 плюс 800 умножить на 5, знаменатель: 4 конец дроби = 1200.$

б)  Приведем пример набора из 500 монет, при котором условие не выполняется. Возьмем только двойки. В этом случае:

$1000 = 500 умножить на 2 меньше дробь: числитель: 600 умножить на 2 плюс 600 умножить на 5, знаменатель: 4 конец дроби = 1050.$

Значит, N не может равняться 600.

в)  Рассмотрим два случая: N больше 0 и не больше 500 и N больше 500 и меньше 1200. В обоих случаях будем брать наименьшую возможную сумму 500 монет, то есть брать наибольшее количество двоек. Запишем условие для первого случая:

$2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 6000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 10 000 минус 20N минус 6000 больше или равно 0 равносильно 9N меньше или равно 4000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 444.$ $2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 6000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 10 000 минус 20N минус 6000 больше или равно 0 равносильно 9N меньше или равно 4000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 444.$ $2N плюс 5 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 8N плюс 20 умножить на левая круглая скобка 500 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 6000 минус 5N равносильно$
$равносильно 11N плюс 10 000 минус 20N минус 6000 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 9N меньше или равно 4000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N меньше или равно 444.$

При $N = 444$ неравенство верно:

$1168 = 2 умножить на 444 плюс 5 умножить на 56 больше дробь: числитель: 2 умножить на 444 плюс 5 умножить на 756, знаменатель: 4 конец дроби = 1167.$

Далее заметим, что при уменьшении N на 1 сумма слева увеличится на 3, а справа  — на 0,75. Следовательно, все N от 1 до 444 подходят.

Рассмотрим второй случай. В этом случае наименьшая сумма из 500 монет будет состоять только из двоек:

$2 умножить на 500 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2N плюс 6000 минус 5N меньше или равно 4000 равносильно 3N больше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 667.$ $2 умножить на 500 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 2N плюс 6000 минус 5N меньше или равно 4000 равносильно 3N больше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 667.$ $2 умножить на 500 больше или равно дробь: числитель: 2N плюс 5 левая круглая скобка 1200 минус N правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 2N плюс 6000 минус 5N меньше или равно 4000 равносильно$
$равносильно 3N больше или равно 2000 \underset N принадлежит Z \mathop равносильно N больше или равно 667.$

При $N = 667$ неравенство верно:

$1000 = 2 умножить на 500 больше дробь: числитель: 2 умножить на 667 плюс 5 умножить на 533, знаменатель: 4 конец дроби = 999,75.$

Далее заметим, что при увеличении N на 1 сумма слева останется неизменной, а справа уменьшится. Следовательно, все N от 667 до 1199 подходят. Таким образом, количество подходящих N равно $444 плюс 1199 минус 666 = 977.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  977.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

13.  

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а)  Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б)  Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в)  Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Решение. При первой операции число увеличивается на $20 минус 5 = 15,$ а при второй  — уменьшается на $20 минус 2 = 18.$

а)  И то, и другое кратно 3, а значит, и общая разность кратна 3. А 128 не кратно 3, поэтому сумма исходных чисел не может оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел.

б)  Пусть c n числами проделали первую операцию, тогда с $25 минус n$ числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:

$15n = 18 левая круглая скобка 25 минус n правая круглая скобка равносильно 5n = 6 левая круглая скобка 25 минус n правая круглая скобка равносильно 11n = 6 умножить на 25,$

что невозможно ни при каком целом n.

в)  Пусть всего на доске m чисел. Рассуждая аналогично пункту б), получаем:

$15n = 18 левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка равносильно 5n = 6 левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка равносильно 11n = 6m.$

Числа 11 и 6 взаимно простые, поэтому m кратно 11.

Пусть $m = 11k,$ тогда $n = 6k.$ Наименьшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 15, а вторую  — 30. Следовательно, сумма всех чисел не меньше

$6k умножить на 15 плюс 5k умножить на 30 = 240k,$

что по условию меньше 1198, откуда k не превосходит 4, а m  — 44. А для $m = 44$ cуществует пример: с двадцатью четырьмя числами 15 проделаем первую операцию, а с двадцатью числами 30 проделаем вторую операцию, при этом

$24 умножить на 15 плюс 20 умножить на 30 = 360 плюс 600 = 960 меньше 1198.$

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  44.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

14.  

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 80 и не больше 170. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.

а)  Может ли быть 40 различных чисел в последовательности?

б)  Может ли быть 80 различных чисел в последовательности?

в)  Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

Решение. а)  Да. Например, последовательность 170, 168, 166, ..., 96, 94, 92.

б)  Да. Например, последовательность $\underbrace169, 167, 165, \ldots, 85, 83, 81,_45 чисел \underbrace162, 160, 158, \ldots, 96, 94._35 чисел$

в)  В промежутке [80; 170] всего 91 число. Заметим, что $80 умножить на 3 = 240 больше 170.$ Следовательно, условие «каждое следующее число делится на предыдущее» равносильно условию «каждое следующее число вдвое больше предыдущего».

Если начать последовательность с четного числа, то нечетное из него получить невозможно. Начнем последовательность с выписывания всех доступных нечетных чисел. Наименьшее нечетное число 81 увеличим вдвое и продолжим последовательность четными числами. Появившееся число 84 тоже увеличим вдвое, чтобы добавить в последовательность недостающие четные числа:

169, 167, ..., 83, 81, 162, 160, ..., 86, 84, 168, 166, 164, ..., 82, 80.

Нетрудно заметить, что из всех доступных чисел в этой последовательности нет только числа 170, то есть в показанном примере 90 различных чисел.

После появления числа 170 в последовательности в ней уже не будет нечетных чисел. Число 170 можно получить из числа 85, поэтому при включении числа 170 в последовательность в ней обязательно будут отсутствовать числа 83 и 81. Следовательно, в такой последовательности может быть не более 89 чисел.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  90.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

15.  

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 60 и не больше 130. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.

а)  Может ли быть 35 различных чисел в последовательности?

б)  Может ли быть 60 различных чисел в последовательности?

в)  Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

а)  Может ли быть 40 различных чисел в последовательности?

б)  Может ли быть 80 различных чисел в последовательности?

в)  Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

а)  Да. Например, последовательность 170, 168, 166, ..., 96, 94, 92.

б)  Да. Например, последовательность $\underbrace169, 167, 165, \ldots, 85, 83, 81,_45 чисел \underbrace162, 160, 158, \ldots, 96, 94._35 чисел$

169, 167, ..., 83, 81, 162, 160, ..., 86, 84, 168, 166, 164, ..., 82, 80.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  90.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

16.  

На доске записано некоторое натуральное число N. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:

—  умножить число на 4;

—  прибавить к числу 12;

—  если число не равно 9, то вычеркнуть из числа цифру 9.

Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.

а)  Можно ли за несколько действий получить из числа 47 число 2?

б)  Можно ли за несколько действий получить из числа 7 число 77?

в)  Какое наибольшее количество чисел, меньших 2015, может быть записано на доске, если N  =  3.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697353	а)  да; б)  нет; в)  11.
2	697378	а)  да; б)  нет; в)  231.
3	697443	а)  да; б)  нет; в)  110.
4	697444	а)  да; б)  нет; в)  163.
5	697445	а)  да; б)  нет; в)  59.
6	697447	а)  да; б)  нет; в)  42.
7	701445	а)  нет; б)  нет; в)  8.
8	701446	а)  да; б)  нет; в)  10.
9	701447	а)  да; б)  нет; в)  70.
10	701462	а)  да; б)  нет; в)  244.
11	701524	а)  да; б)  нет; в)  488.
12	701460	а)  да; б)  нет; в)  977.
13	701582	а)  нет; б)  нет; в)  44.
14	701892	а)  да; б)  да; в)  90.
15	701911	а)  да; б)  да; в)  70.

Задания 19 ЕГЭ–2026

Ключ