На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?
При первой операции число увеличивается на 
а при второй — уменьшается на 
а) И то, и другое кратно 3, а значит, и общая разность кратна 3. А 128 не кратно 3, поэтому сумма исходных чисел не может оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел.
б) Пусть c n числами проделали первую операцию, тогда с 
числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:
что невозможно ни при каком целом n.
в) Пусть всего на доске m чисел. Рассуждая аналогично пункту б), получаем:
Числа 11 и 6 взаимно простые, поэтому m кратно 11.
Пусть 
тогда 
Наименьшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 15, а вторую — 30. Следовательно, сумма всех чисел не меньше
что по условию меньше 1198, откуда k не превосходит 4, а m — 44. А для 
cуществует пример: с двадцатью четырьмя числами 15 проделаем первую операцию, а с двадцатью числами 30 проделаем вторую операцию, при этом
Ответ: а) нет; б) нет; в) 44.