ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 697444 Добавить в вариант

а)  Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Спрятать решение

Решение.

а)  Например, числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б)  Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из $1 минус a$ сотен, $9 минус b$ десятков и $9 минус c$ единиц. Суммы цифр этих чисел равны $a плюс b плюс c$ и $19 минус a минус b минус c$ соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в)  Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме шести наименьших чисел с этой суммой цифр. Для сумм 1, 2, 3, и 5 имеем соответственно:

$1 плюс 10 плюс 100 плюс 1000 плюс 10 000 плюс 100 000 = 111 111,$

$2 плюс 11 плюс 20 плюс 101 плюс 110 плюс 200 = 444,$

$3 плюс 12 плюс 21 плюс 30 плюс 102 плюс 111 = 279,$

$4 плюс 13 плюс 22 плюс 31 плюс 40 плюс 103 = 213,$

$5 плюс 14 плюс 23 плюс 32 плюс 41 плюс 50 = 165.$

Если сумма цифр равна 6 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел  — как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

$a плюс левая круглая скобка a плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 27 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 36 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 45 правая круглая скобка = 6a плюс 135 больше или равно 171.$ $a плюс левая круглая скобка a плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 27 правая круглая скобка плюс$
$плюс левая круглая скобка a плюс 36 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 45 правая круглая скобка = 6a плюс 135 больше или равно 171.$

Получаем, что искомое число равно 163.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  163.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 505503: 511410 697353 697378 ...511410 697353 697378 697443 697444 Все

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2026

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь