а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [–⁠3π; –⁠2π].

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ в ос­но­ва­нии лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом B и с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 6. Бо­ко­вые рёбра приз­мы равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года Ни­ко­лай пла­ни­ру­ет от­крыть на­ко­пи­тель­ный счет на три года. Усло­вия по этому счету та­ко­вы:

—  1 июля 2026 года Ни­ко­лай по­ме­ща­ет на счет не­ко­то­рую сумму денег;

—  30 июня каж­до­го года сумма на счете уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с сум­мой, на­хо­дя­щей­ся на счете 29 июня;

—  1 июля 2027, 2028 и 2029 годов Ни­ко­лай сни­ма­ет со счета одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму;

—  после 1 июля 2029 года на счете не долж­но остать­ся денег.

Сколь­ко руб­лей сняли со вкла­да за все 3 года, если эта ве­ли­чи­на пре­вы­ша­ет из­на­чаль­ный вклад на 393 000 руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в  раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более двух кор­ней.

На доске за­пи­са­но не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число N. Учи­тель по оче­ре­ди вы­зы­ва­ет уче­ни­ков, ко­то­рые вы­пол­ня­ют с любым из уже за­пи­сан­ных на доске чисел одно из сле­ду­ю­щих дей­ствий:

—  умно­жить число на 4;

—  при­ба­вить к числу 12;

—  если число не равно 9, то вы­черк­нуть из числа цифру 9.

Затем каж­дый из уче­ни­ков за­пи­сы­ва­ет новое число на доску.

а)  Можно ли за не­сколь­ко дей­ствий по­лу­чить из числа 47 число 2?

б)  Можно ли за не­сколь­ко дей­ствий по­лу­чить из числа 7 число 77?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, мень­ших 2015, может быть за­пи­са­но на доске, если N  =  3.